Teorema central del límite
El mundo está lleno de distribuciones y, sin embargo, una forma aparece en todas partes: la campana, la distribución normal. Las estaturas de las personas, las notas de los exámenes, los errores de medición, las dimensiones de las piezas de fábrica e incluso las medias muestrales de la estadística vienen de fuentes completamente distintas y, aun así, todas dibujan, como si se hubieran puesto de acuerdo, una campana simétrica abombada en el centro. ¿Por qué es tan común esta forma? La respuesta es elegante y poderosa. Suma muchos factores aleatorios pequeños e independientes y, sea cual sea la forma de cada uno, la suma converge a una campana. Es el teorema central del límite, uno de los resultados más profundos y bellos de la estadística. Las estaturas son normales porque se suman innumerables genes y factores ambientales, y los errores de medición son normales porque se combinan innumerables temblores pequeños. La lección anterior resumió una distribución con dos números, centro y dispersión, y la distribución normal queda completamente determinada justo por esos dos: la media y la desviación típica. En esta lección, la última de la línea de probabilidad y estadística, ves por qué la campana aparece en todas partes y cómo se usa esa única regla para medir el mundo.
Primero, familiarízate con la campana misma. La distribución normal es más alta en la media y desciende con suavidad y simetría a ambos lados. Lo notable es que la curva queda completamente fijada por solo dos números, la media μ y la desviación típica σ. μ es el centro, la posición del pico, y σ es la anchura de la campana. La distribución normal tiene además una regla muy útil que vale la pena memorizar: la regla 68-95-99,7. Elige una anchura con los botones y el área sombreada muestra que alrededor del 68 % del total cae a ±1σ de la media, alrededor del 95 % a ±2σ y alrededor del 99,7 % a ±3σ. Dicho de otro modo, un valor con distribución normal está casi siempre (99,7 %) a menos de 3σ de la media, y salirse de 3σ es raro, unas tres veces de cada mil. σ es una regla natural (ruler). Cuántas σ se aleja un valor de la media indica lo raro que es. Con esta sola regla puedes juzgar al instante si una medición es normal o extraña.
Ahora mira cómo surge la campana por sí sola. Lanza un dado y del 1 al 6 todos son igual de probables, así que la distribución es un rectángulo plano, nada parecido a una campana. Pero lanza varios dados y mira su suma, y ocurre algo mágico. Aumenta el número de dados con los botones. Con solo dos, la distribución plana se convierte en un triángulo con el pico en 7; con tres o cuatro, las esquinas se redondean y se parece cada vez más a una campana. Las barras azules son las probabilidades de la suma, y la curva dorada es la distribución normal con la misma media y dispersión. ¿Por qué ocurre? Para que la suma sea muy pequeña, todos los dados tienen que sacar a la vez caras bajas, lo cual es raro, mientras que hay innumerables maneras de que la suma caiga cerca del centro. Así, los valores intermedios salen con muchísima frecuencia y se forma un pico. Un solo dado, el ingrediente, no se parece en nada a una campana y, sin embargo, al sumar unos pocos aparece una. Este es el ejemplo más simple del teorema central del límite en acción.
Los dados son simétricos de entrada, así que podría decirse que eran un caso fácil. ¿Y una distribución abiertamente sesgada? Aquí tienes la distribución exponencial: más frecuente cerca de 0, con una larga cola hacia la derecha, nada simétrica. Toma N valores de esta distribución sesgada, promédialos, reúne muchos de esos promedios y dibuja su histograma. Aumenta el tamaño muestral N en la pista de abajo. Con N=1 ves la forma sesgada original, pero a medida que N crece, la distribución de la media muestral se vuelve, sorprendentemente, una campana simétrica y a la vez se estrecha. Por torcida que sea la fuente, si tomas suficientes valores y promedias, el promedio converge a una distribución normal. Ese es el núcleo del teorema central del límite. Además, su anchura se reduce como 1√N a medida que N crece, y el valor aparece abajo. Toma 4 veces más muestras y la dispersión de la media se reduce a la mitad. Por eso, cuantas más muestras, más precisa es la estimación de la media, y por eso una encuesta puede ser bastante exacta preguntando solo a unos pocos miles de personas.
Si las distribuciones normales aparecen en todas partes, conviene unificarlas todas con una sola regla estándar. Eso es la estandarización z. Toma un valor X de cierta distribución normal N(μ, σ) y reescribe cuánto se aleja de la media en unidades de σ. En fórmula, z = (X − μ)σ. Primero resta μ para llevar el centro a 0 y luego divide entre σ para fijar la anchura en 1. Es un caso de la transformación aX+b de la lección anterior (a=1σ, b=−μσ). Por mucho que cambies μ y σ con las dos pistas de abajo, las marcas z bajo la curva siguen fijas en 0, ±1, ±2. Los valores x de la fila dorada de arriba cambian de una distribución a otra, pero medidas con los valores z de la fila azul de abajo, todas las distribuciones normales se convierten en la misma normal estándar N(0, 1). Esto es poderoso porque, con una sola tabla o función de la normal estándar, puedes convertir a z la probabilidad de cualquier distribución normal del mundo y leerla en esa única tabla. Ya sea la probabilidad de una estatura de 175cm o la rentabilidad de una acción, al pasar a z la mides con la misma regla.
Por último, mira cómo se usa todo esto en ingeniería. Si mides muchas veces la misma magnitud, el valor cambia un poco cada vez. Esa dispersión es la suma de innumerables ruidos pequeños, así que, por el teorema central del límite, sigue una distribución normal. Los puntos de medición de la figura también se reparten en forma de campana alrededor de la media. Aplica aquí la regla 68-95-99,7. Cambia la anchura de la banda con los botones y los puntos se separan en dorados, dentro de la banda, y rojos, fuera, y alrededor del 95 % de las mediciones cae a ±2σ de la media. Pulsa «Medir de nuevo» para comprobar la misma proporción con un nuevo conjunto de puntos. Dale la vuelta y podrás estar seguro en un 95 % aproximadamente de que el valor verdadero está a ±2σ de la media medida; eso es un intervalo de confianza. El ± de un resultado escrito como 5,0 ± 0,2 es exactamente esto. En ingeniería ningún número viaja solo sin su ±. Las tolerancias de las piezas, los márgenes de error de los valores experimentales, el error muestral de las encuestas y la precisión de los sensores se expresan como estimación ± tantas σ. Así, la estadística no es un lenguaje para decir «la media vale tanto», sino para decir «la media está en este intervalo y tenemos esta confianza en ello». La distribución normal y el teorema central del límite le ponen un número a esa confianza. Esta lección cierra la línea de probabilidad y estadística. Las transformaciones y los valores propios del álgebra lineal, el giro de los números complejos, el flujo y la estabilidad de las ecuaciones diferenciales, y las distribuciones y la estimación de la probabilidad: las herramientas básicas de la caja de un estudiante de ingeniería ya están en tus manos.