Espacio con producto interno
La longitud, el ángulo y el ángulo recto son tan familiares que parecen no necesitar definición, pero en un espacio vectorial general ninguno de los tres viene dado. Un solo dispositivo produce los tres a la vez: el producto interno <u,v>. La longitud es la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo, el ángulo es aquel cuyo coseno es el producto interno dividido entre el producto de las dos longitudes, y el ángulo recto es el caso en que el producto interno vale 0. El producto escalar, que multiplica componentes y suma, es solo uno de esos productos internos, y un producto interno que pesa cada eje de forma distinta cambia la geometría sobre los mismos vectores. Las funciones también se pueden sumar y multiplicar por números, así que pueden verse como vectores, y en cuanto el producto interno de dos funciones se define como la integral de su producto aparece el punto de partida de las series de Fourier y de los métodos de núcleo.
El producto interior expresa con un solo número cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección. En la figura de abajo el vector verde u = (2,5; 0) está fijo en horizontal, y el vector azul v se puede arrastrar. Con el v = (1,6; 2) inicial los números de abajo marcan p. interno 4,00, ángulo 51°, long. u 2,50 y long. v 2,56, y los cuatro están ligados por <u,v> = ‖u‖ ‖v‖ cos θ: 2,50 × 2,56 × cos 51° ≈ 4,0 cuadra. Si se inclina v hacia u el producto interno crece, si se pone en ángulo recto con u vale 0, y si se gira hacia el lado opuesto a u se vuelve negativo, mientras el color del número pasa de verde a gris y a rojo. Solo con el signo del producto interno se sabe si los dos vectores forman un ángulo agudo, recto u obtuso. Que la longitud, el ángulo y el ángulo recto salgan todos de esta única cantidad es el punto de partida de toda la lección.
¿Cómo se relaciona la longitud de un vector con el producto interior? La figura de abajo saca la longitud del producto interno. El producto interno de un vector consigo mismo, <v,v>, es la suma de los cuadrados de sus componentes, así que nunca baja de 0, y su raíz cuadrada se toma como la longitud ‖v‖. Con el v = (1,8; 1,4) inicial, <v,v> = 1,8² + 1,4² = 5,20 y ‖v‖ = √5,20 ≈ 2,28, y el radio del círculo dorado es justo esa longitud. El círculo a trazos es el círculo unitario, el conjunto de vectores de longitud 1; si se lleva v hasta él, los dos círculos coinciden, <v,v> y ‖v‖ se acercan a la vez a 1 y el número de la longitud se vuelve dorado. La longitud no necesita una definición aparte cuando hay un producto interno, y esta relación es el punto de partida de todas las normas que vendrán.
Ahora cambia el propio producto interno. El producto interno ponderado <u,v>w = w1·u1·v1 + w2·u2·v2 da pesos distintos al eje horizontal y al vertical, y la curva dorada de la figura de abajo es el conjunto de puntos cuya longitud con este producto interno vale 1, la bola unitaria. Con los w1 = 1,0 y w2 = 2,4 iniciales la bola unitaria es una elipse de semieje horizontal 1 y semieje vertical 1/√2,4 ≈ 0,65, más achatada en vertical que el círculo unitario normal dibujado a trazos. Una componente en la dirección de ese eje entra en la longitud con su cuadrado multiplicado por w, lo que acerca el punto donde <v,v>w = 1 hasta 1/√w, así que cuanto más pesado es el eje, más corta se dibuja la misma longitud 1. Los vectores siguen siendo los mismos, pero cambia lo que se llama largo, y con ello toda la geometría. Al estandarizar datos con unidades distintas, como la estatura y el peso, o al usar la distancia de Mahalanobis, lo que se calcula es justamente este tipo de producto interno ponderado.
El ángulo recto también lo fija el producto interno. Dos vectores son ortogonales cuando <u,v>w = 0, y la figura de abajo fija el producto interno ponderado en w1 = 1, w2 = 2,5, deja u = (2,4; 0,6) y solo gira el ángulo de v con un deslizador. En los 40° iniciales el valor es <u,v>w = 7,01, e incluso en 104°, donde v parece perpendicular a u en pantalla, quedan 2,19. Solo en 122° llega <u,v>w a 0,00 y v brilla en dorado, y en ese momento el ángulo entre u y v en pantalla no es de 90° sino de 108°. La elipse a trazos reúne los puntos con la misma longitud ponderada que u, y la tangente a esa elipse en la punta de u es justo la dirección ortogonal a u según el producto interno ponderado, así que v, en el momento ortogonal, corre paralelo a esa tangente. El ángulo recto no es el 90° que ve el ojo sino el hecho de que el producto interno sea 0, y la elección del producto interno decide qué es ortogonal.
El salto más grande es ver las funciones como vectores. Si el producto interno de dos funciones se define como la integral de su producto en el intervalo [0, 2π], <f,g> = ∫ f·g, la longitud y la ortogonalidad pasan tal cual a las funciones. La figura de abajo fija la f = sin(x) verde, cambia con un deslizador el entero k de la g = sin(kx) azul y sombrea el producto f·g. Con el k = 2 inicial las partes positiva y negativa del producto se anulan exactamente, así que <f,g> = 0,00, y lo mismo ocurre con k = 3, 4 y 5. Solo con k = 1 el producto sin²x nunca baja de 0 y queda <f,g> = π ≈ 3,14, cuya raíz cuadrada es la longitud de sin x. Las series de Fourier, que separan una señal en sus componentes de frecuencia, se apoyan en este hecho de que las ondas senoidales de frecuencias distintas son ortogonales entre sí.