Espacio con producto interno
La longitud, el ángulo y el ángulo recto parecen demasiado familiares para necesitar una definición. En un espacio vectorial los tres no vienen dados. Un solo dispositivo, el producto interno <u,v>, hace los tres a la vez. La longitud es la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo, el ángulo es el producto interno de dos vectores dividido por sus longitudes, y un ángulo recto es donde el producto interno es 0. El producto escalar es solo un ejemplo de este producto interno. Cambia el producto interno, por ejemplo dando pesos distintos a los ejes, y la geometría sobre los mismos vectores se dobla. Una función también es un vector. El producto interno de dos funciones es la integral de su producto, y la transformada de Fourier y los núcleos empiezan ahí. Las flechas de la pantalla dibujan esa geometría. Cambia el producto interno y la longitud y el ángulo de las mismas flechas cambian juntos. Cambia los pesos y el círculo se aplasta en una elipse. El eje largo de la elipse es la dirección de peso ligero. Los cuatro números de abajo son la lectura de esa geometría.
Fija el vector verde u en horizontal y arrastra el vector azul v, y cuatro números de abajo siguen juntos. El producto interno <u,v>, la longitud de u, la longitud de v y el ángulo entre ambos. Estira v largo en la misma dirección que u y el producto interno crece. Ponlo en ángulo recto y el producto interno se vuelve 0. Gíralo al otro lado y el producto interno se hace negativo. Un producto interno guarda la longitud y el ángulo en una caja. La longitud, el ángulo y si el par es perpendicular se desempacan de esta sola cantidad. El verde y el azul son los dos vectores. De los cuatro números, el producto interno es el que da a luz a los otros tres.
Primero la longitud. El producto interno de un vector consigo mismo es <v,v>, y eso es el cuadrado de la longitud. Así la longitud ||v|| es la raíz cuadrada de <v,v>. Arrastra v y el radio hasta la punta de la flecha es esa longitud. El círculo unidad punteado es el conjunto de vectores cuya longitud es exactamente 1. Coloca v sobre el círculo unidad y <v,v> es exactamente 1. No defines la longitud aparte. Si tienes un producto interno, la longitud viene con él. El producto interno de un vector consigo mismo es el cuadrado de su longitud, y esa frase es el inicio de toda norma.
Ahora cambia el producto interno mismo. Un producto interno ponderado es <u,v>w = w1·u1·v1 + w2·u2·v2, dando pesos distintos a los dos ejes. Mueve los deslizadores w1 y w2 y el conjunto de vectores de longitud 1, la bola unidad, deja de ser un círculo y se vuelve una elipse. Los semiejes son 1/sqrt(w1) y 1/sqrt(w2), así que subir el peso de un eje acorta esa dirección. La distancia se cobra más cara por ahí. Los vectores se quedan quietos y cambia el criterio de qué cuenta como largo, así que toda la geometría se dobla. Cuando los ejes de unos datos se miden en unidades distintas, como la estatura y el peso, el producto interno en uso es uno ponderado.
La ortogonalidad también se define por el producto interno. Dos vectores son ortogonales cuando <u,v>w = 0. Fija un peso más pesado en un eje y gira solo el ángulo de v con el deslizador. En el instante en que el producto interno ponderado cruza 0, v se ilumina. En ese instante u y v en la pantalla no parecen 90 grados. Los pesos han doblado el espacio, así que un ángulo recto de ese mundo no coincide con el ángulo recto del ojo. Un ángulo recto no son los 90 grados que ves. Es el hecho de que el producto interno es 0. Qué producto interno uses decide qué cuenta como ortogonal.
Por último, una función es un vector. El producto interno de dos funciones es la integral de su producto sobre un intervalo, <f,g> = ∫ f·g. Fija f = sin(x) y usa el deslizador para cambiar la frecuencia entera k de g = sin(kx). El área del producto f·g queda sombreada. Cuando k es 1 queda un área positiva. Cuando k es un entero distinto de 1, la parte positiva y la negativa se cancelan y la integral es 0, lo que es ortogonalidad. Las ondas seno de frecuencias distintas son perpendiculares en el espacio de funciones. La transformada de Fourier, que parte una señal por frecuencia, se sostiene en esa ortogonalidad. Frecuencias distintas hacen que las áreas del producto se borren entre sí. Cuando el sombreado se parte por encima y por debajo de la línea base, la integral se cancela.