Un producto interno le da geometría a un espacio
¿Qué es la longitud, qué es el ángulo, qué es un ángulo recto? Parecen tan obvios que apenas necesitan definición. Sin embargo, en un espacio vectorial estos tres no se te regalan. Un solo dispositivo, el producto interno <u,v>, fabrica los tres a la vez. La longitud es la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo, el ángulo es el producto interno de dos vectores dividido por sus longitudes, y un ángulo recto es donde el producto interno es cero. El producto punto que conociste antes es solo un ejemplo de este producto interno. Cambia el producto interno, digamos ponderando cada eje de forma distinta, y la geometría misma se dobla sobre los mismísimos vectores. Más sorprendente aún: las funciones también son vectores. El producto interno de dos funciones es la integral de su producto, y justo aquí comienzan las transformadas de Fourier y los núcleos.
Mantén el vector verde u fijo en horizontal y arrastra el vector azul v. Cuatro números lo siguen debajo: el producto interno <u,v>, la longitud de u, la longitud de v y el ángulo entre ellos. Estira v en la misma dirección que u y el producto interno crece; ponlo en ángulo recto y el producto interno es cero; gíralo al lado contrario y se vuelve negativo. Aquí está la clave: un solo producto interno empaqueta longitud y ángulo en una misma caja. La longitud, el ángulo y si son perpendiculares se desempaquetan todos de esta única cantidad, el producto interno. Desde el próximo bloque iremos separando estos tres uno por uno.
Primero, la longitud. Toma el producto interno de un vector consigo mismo, <v,v>, y eso es exactamente la longitud al cuadrado. Así que la longitud ||v|| es la raíz cuadrada de <v,v>. Arrastra v y el radio hasta la punta de la flecha es su longitud, mientras que el círculo unitario punteado es el conjunto de vectores cuya longitud es exactamente 1. Pon v sobre el círculo unitario y <v,v> marca exactamente 1. Nunca tienes que definir la longitud aparte; con solo un producto interno, la longitud sale sola. El producto interno de un vector consigo mismo es su longitud al cuadrado, y esa única frase es donde empieza toda norma.
Ahora cambia el producto interno mismo. El producto interno ponderado es <u,v>w = w1·u1·v1 + w2·u2·v2, dando a los dos ejes pesos distintos. Desliza w1 y w2. El conjunto de vectores de longitud 1, la bola unitaria, ya no es un círculo sino una elipse. Sus semiejes son 1/sqrt(w1) y 1/sqrt(w2), así que cuanto más peso pongas en un eje, más corta se vuelve esa dirección, porque la distancia a lo largo de ella ahora se cobra más cara. Los vectores no cambian, pero la geometría se dobla al cambiar el criterio de qué cuenta como largo. Siempre que manejas datos cuyas unidades difieren eje por eje (como altura frente a peso), en realidad usas siempre un producto interno ponderado.
Un ángulo recto, también, se define en última instancia por el producto interno. Dos vectores son ortogonales simplemente cuando <u,v>w = 0. Aquí los pesos están fijos (más pesado en un eje) y solo giras el ángulo de v con el control. En el instante en que el producto interno ponderado cruza el cero, v se ilumina. Pero mira de cerca: en ese instante u y v no parecen estar a 90 grados en pantalla. Los pesos han doblado el espacio, así que un ángulo recto en el mundo ponderado discrepa del ángulo recto que ve tu ojo. Un ángulo recto no es el 90 grados visible sino el hecho de que el producto interno es cero. Qué producto interno uses decide qué cuenta como ortogonal.
Por último, el salto más grande: las funciones son vectores. El producto interno de dos funciones es su producto integrado sobre un intervalo, <f,g> = ∫ f·g. Aquí f = sin(x) está fija, y el control cambia la frecuencia entera k de g = sin(kx). El área del producto f·g se sombrea, y cuando k es 1 queda un área positiva clara. Pero en cuanto k es un entero distinto de 1, las partes positiva y negativa se cancelan exactamente, así que la integral es 0, es decir, ortogonal. Las ondas seno de frecuencias distintas están en ángulo recto entre sí en el espacio de funciones. La transformada de Fourier, que separa una señal frecuencia por frecuencia, descansa justo sobre esta ortogonalidad.