Linealidad
En las próximas lecciones verás matrices, determinantes y valores propios, y una sola propiedad hace que todo eso funcione: la linealidad. El nombre suena solemne, pero significa una sola cosa: puedes separar un problema, tratar las piezas por separado, volver a juntar los resultados y obtener exactamente lo mismo que si lo hubieras tratado todo de una vez. Es la promesa de que lo complicado se puede resolver en piezas simples. La lección anterior, «Un vector es un movimiento», mostró que todo vector es una combinación de î y ĵ, y la próxima, «Las matrices son transformaciones», dirá que a una matriz le basta con seguir a î y ĵ. Lo que une ambas ideas es la linealidad, y esta lección es el puente.
Una transformación es lineal cuando cumple exactamente dos reglas. Primera: sumar y luego transformar da lo mismo que transformar y luego sumar. Segunda: escalar y luego transformar da lo mismo que transformar y luego escalar por el mismo factor. En la figura, las dos flechas tenues son las entradas, y las flechas verde y naranja intensas son sus versiones transformadas. El segmento naranja punteado coloca la flecha naranja en la punta de la verde, y su extremo cae justo en la punta de la flecha dorada, que es el resultado de sumar primero las entradas y luego transformar. Arrastra los controles oscuros a y b adonde quieras: los dos caminos siempre llegan al mismo punto, y debajo de la figura aparecen las dos reglas escritas como fórmulas. Si cumple estas dos reglas, la transformación es lineal. La promesa parece modesta, pero casi todos los cálculos que vienen se apoyan en ella.
Empecemos por la primera regla. Un camino suma primero a y b, como a+b, y luego transforma; el otro transforma cada uno por separado y luego suma los resultados. En la figura, la diagonal dorada es el primer camino, y el paralelogramo cuyos dos lados son las flechas verde y naranja es el segundo. La esquina opuesta del paralelogramo coincide exactamente con el extremo de la diagonal dorada, así que da igual sumar primero o transformar primero. Mueve los controles a y b por donde quieras: el paralelogramo siempre se cierra en el extremo dorado. Por eso no hace falta tratar el conjunto entero; puedes tratar las partes por separado.
La segunda regla. Estirar un vector v por 3 y luego transformarlo, o transformar v y luego estirar el resultado por 3: de nuevo, ambos coinciden. Si duplicas la entrada, la salida se duplica exactamente; si la triplicas, se triplica, en una proporción limpia. En la figura, la flecha tenue es la salida de referencia. Cambia el factor c con el deslizador y la flecha dorada se alarga y se acorta sobre la línea punteada según ese factor. Cuando c se vuelve negativo, la flecha salta al otro lado y se pone roja, pero nunca sale de la misma recta. Da igual que el estiramiento vaya antes o después, y lo que pongas en la entrada aparece tal cual en la salida. Esa es la sensación central de la linealidad.
Al combinar las dos reglas sale una conclusión poderosa. Como vimos en la lección anterior, «Un vector es un movimiento», cualquier vector se separa en una pieza de î y una pieza de ĵ, y gracias a la linealidad la transformación actúa sobre cada pieza por separado; luego solo hay que sumar los resultados. En fórmula: transformar(cualquier vector) = (cantidad de î que contiene) × transformar(î) + (cantidad de ĵ) × transformar(ĵ). Si sabes adónde manda la transformación a î y ĵ, los infinitos vectores restantes quedan determinados. Arrastra el vector de entrada por su control: en el lado de la salida, la línea verde punteada coloca tantas copias de î transformado como hagan falta, y la línea naranja punteada añade copias de ĵ transformado, hasta llegar a la punta de la flecha azul de salida. La ecuación de abajo muestra las cantidades usadas. Por eso mismo, en la próxima lección, «Las matrices son transformaciones», una matriz se puede escribir con solo dos columnas para î y ĵ; la linealidad se encarga del resto.
Esta propiedad tiene un nombre famoso en ingeniería: el principio de superposición. Si la entrada A produce la salida A y la entrada B produce la salida B, entonces la entrada A+B produce exactamente la salida A+B. Combinar no trae sorpresas. Avanza por la figura con los botones: aparecen la entrada A y su salida, luego la entrada B y la suya, y en el último paso el segmento naranja punteado unido a la punta de la salida verde cae justo en la punta de la salida dorada. Así, una entrada complicada se puede partir en piezas simples, resolver cada una y sumar las respuestas. Descomponer un sonido en tonos puros con el análisis de Fourier, o analizar un circuito calculando cada fuente por separado y sumando, son casos de superposición. Lo que no es lineal no lo permite. Basta con elevar al cuadrado: (a+b)² no es a²+b², y al combinar aparece un término inesperado. Por eso casi todos los problemas que sabemos resolver con limpieza son lineales.