Multiplicar números complejos rota y escala
Un número complejo a+bi — al principio piensas: "¿qué es i, en realidad?" Pero saca el número complejo de la recta numérica y ponlo como un punto en el plano, y de pronto cobra sentido. Eje horizontal: la parte real. Eje vertical: la parte imaginaria, la que lleva la i. Entonces a+bi es solo un punto situado en (a, b). Y aquí está la verdadera magia: la multiplicación. En la recta real, multiplicar era "estirar". En el plano complejo, multiplicar es "rotar mientras estiras". Multiplica por i en particular y giras exactamente 90 grados. Este único hecho se convierte en el lenguaje de la corriente alterna, de las ondas, de todo lo que gira. En esta lección verás los números complejos como puntos en un plano y los girarás tú mismo para sentir por qué multiplicar es rotar.
Primero, sentemos un número complejo en el plano. Agarra el punto y arrástralo a donde quieras. Lo que avanzó en horizontal es la parte real a; lo que avanzó en vertical es la parte imaginaria b. Unas líneas punteadas bajan a los dos ejes y te marcan a y b. Arriba a la derecha: a y b ambos positivos. Abajo a la izquierda: ambos negativos. Un número complejo es un punto en el plano, y un punto en el plano es un número complejo. Los números reales son solo el caso especial que vive sobre el eje horizontal. Lee i como un paso hacia arriba — la dirección vertical. Este único paso, ver un número complejo no como un "número" sino como una "posición en un plano", es la llave que abre todo lo demás.
Ahora mira qué hace multiplicar por i. Suelta un punto y pulsa el botón "por i". Cada pulsación gira el punto exactamente 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen. La longitud se mantiene; solo la dirección gira 90. Empieza en 1 y obtienes 1 → i → −1 → −i, y de vuelta a 1. Cuatro pulsaciones y estás en casa — multiplicar por i es un giro de 90 grados, y cuatro de ellos hacen 360, una vuelta completa. Multiplica por i dos veces y son 180 grados, que es exactamente i² = −1. "¿Por qué −1 es el cuadrado de i?" se vuelve la imagen "media vuelta te deja en el lado opuesto". La afirmación de una línea de esta lección, que multiplicar es rotar, la muestra del modo más limpio la propia i.
No es solo i. Multiplicar por cualquier número complejo rota y escala. Arrastra las dos flechas z₁ y z₂. Su producto z₁z₂ se dibuja junto a ellas. La regla son solo dos líneas: los ángulos se suman, las longitudes se multiplican. Si z₁ está a 30° con longitud 2, y z₂ a 40° con longitud 1.5, el producto está a 70° con longitud 3. Así que "multiplicar" significa "girar una flecha un poco más, lo que marque el ángulo de la otra, y estirarla un poco más, lo que marque su longitud". Como i tiene longitud 1 y ángulo 90°, multiplicar por i conserva la longitud (×1) y suma 90° al ángulo. El giro de 90 grados del bloque anterior era un caso de esta regla general todo el tiempo. No memorizas la multiplicación; la miras como un giro-y-estiramiento.
Si el ángulo y la longitud son las verdaderas estrellas de la multiplicación, mejor escribir el número complejo con esos dos desde el principio. Esa es la forma polar. Arrastra el punto y dos números lo siguen: la distancia r del origen al punto, y el ángulo θ medido desde el eje horizontal. El mismo punto que llamabas a+bi ahora se llama r∠θ. Se convierten con a = r cos θ, b = r sin θ. ¿Para qué cambiar? Porque la multiplicación se vuelve sin esfuerzo en forma polar. r₁∠θ₁ por r₂∠θ₂ es solo (r₁r₂)∠(θ₁+θ₂). Las longitudes se multiplican, los ángulos se suman — esa regla de antes se reduce a una línea. Siempre que importe la rotación, r∠θ le gana a a+bi por mucho. Y el eiθ de la próxima lección es exactamente esta forma polar comprimida en un solo símbolo.
Por último, dos más para guardarte: el conjugado y la magnitud. Arrastra el punto z, y un punto volteado a través del eje horizontal se mueve con él. Ese es el conjugado z̄. El conjugado de a+bi es a−bi — solo se invierte el signo de la parte imaginaria. En la imagen, es una reflexión en espejo respecto al eje real. Y la distancia del origen a z es la magnitud |z|, el radio del círculo punteado. Por Pitágoras, |z| = √(a² + b²). Conjugado y magnitud son una pareja: multiplica z por z̄ y los ángulos son θ y −θ, que suman 0, mientras que las longitudes son |z|·|z| — así que z·z̄ = |z|². La rotación se cancela exactamente, dejando longitud pura al cuadrado. Este |z|² aparece después, sin cambios, cuando mides potencia de CA o intensidad de señal.