Multiplicación de números complejos
Ante el número complejo a+bi, la primera duda es qué demonios es i. Pero si sacas los números complejos de la recta numérica y los pones en un plano, de repente tienen sentido. El eje horizontal guarda los números reales y el vertical los imaginarios, los que llevan i. Entonces a+bi es simplemente el punto en (a, b). La verdadera magia está en la multiplicación. En la recta real, multiplicar significa estirar; en el plano complejo, significa girar mientras se estira. En particular, al multiplicar por i el punto gira exactamente 90 grados. Este único hecho se convierte en el lenguaje de los circuitos de corriente alterna, de las ondas de señal y de todo lo que gira. En esta lección ves los números complejos en el plano y los giras con la mano para comprobar por qué multiplicar es girar.
Primero, sienta un número complejo en el plano. Toma el punto dorado y arrástralo a cualquier lugar: lo que avanza en horizontal es la parte real a, y lo que avanza en vertical es la parte imaginaria b. Las líneas punteadas verde y naranja que bajan del punto a los dos ejes marcan esos valores, que también aparecen abajo. Arriba a la derecha, a y b son positivos; abajo a la izquierda, los dos son negativos. Un número complejo es un punto del plano, y un punto del plano es un número complejo. Los números reales son el caso especial que vive solo en el eje horizontal, e i es un paso hacia arriba desde el origen, la dirección del eje vertical. Este único paso, ver un número complejo como una posición en el plano y no como un número, es la llave de todo lo que sigue.
Ahora mira qué hace multiplicar por i. Coloca un punto y pulsa el botón «Por i»: el punto gira exactamente 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen. Su longitud no cambia; solo su dirección gira 90 grados. Si empiezas en 1, recorres 1 → i → −1 → −i, y luego vuelves a 1. Las cuatro posiciones están marcadas en el círculo punteado, y solo se ilumina en dorado aquella donde está el punto. Cuatro pulsaciones te devuelven al inicio, porque multiplicar por i es un giro de 90 grados y cuatro de ellos suman 360 grados, una vuelta completa. Multiplicar dos veces por i son 180 grados, y eso es justamente i² = −1. La pregunta de por qué −1 es el cuadrado de i se convierte en un dibujo: media vuelta te deja en el lado opuesto. Nada en esta lección muestra con más limpieza que i que multiplicar es girar.
No es solo i: multiplicar por cualquier número complejo gira y escala. Arrastra la flecha verde y la naranja, y su producto aparece dibujado como la flecha dorada. La regla cabe en dos líneas: los ángulos se suman y las longitudes se multiplican. Las dos líneas de abajo muestran la suma de los ángulos actuales y el producto de las longitudes actuales. Por ejemplo, si la primera está a 30 grados con longitud 2 y la segunda a 40 grados con longitud 1,5, el producto está a 70 grados con longitud 3. Multiplicar es girar una flecha un poco más según el ángulo de la otra y estirarla según la longitud de la otra. Como i tiene longitud 1 y ángulo de 90 grados, multiplicar por i deja la longitud igual (×1) y solo suma 90 grados al ángulo. El giro de 90 grados de antes era un caso de esta regla general. No memorices la multiplicación: mírala como un giro y un estiramiento.
Si el ángulo y la longitud son los verdaderos protagonistas de la multiplicación, conviene escribir los números complejos con ellos desde el principio. Esa es la forma polar. Arrastra el punto y lo siguen dos números: la distancia r del origen al punto y el ángulo θ medido desde el eje horizontal. En la figura, el radio del círculo punteado es esa distancia, y el arco dorado junto al origen es ese ángulo. El mismo punto se llama r∠θ en lugar de a+bi, y las dos formas se convierten mediante a=r cos θ y b=r sin θ, cuyos valores aparecen en la línea de abajo. La razón para cambiar es que la multiplicación se vuelve muy fácil en forma polar. r₁∠θ₁ por r₂∠θ₂ es simplemente (r₁r₂)∠(θ₁+θ₂). La regla de antes, las longitudes se multiplican y los ángulos se suman, se convierte en una fórmula de una línea. En los problemas donde importa el giro, r∠θ es mucho más cómoda que a+bi. El eiθ de la próxima lección comprime justamente esta forma polar en un solo símbolo.
Por último, recoge dos cosas más: el conjugado y el módulo. Arrastra el punto dorado y un punto azul, volteado de arriba abajo con el eje horizontal como espejo, se mueve con él; ese es el conjugado z̄. El conjugado de a+bi es a−bi: solo cambia el signo de la parte imaginaria. En el dibujo, es una reflexión especular respecto al eje real. La distancia del origen al punto es el módulo |z|, el radio del círculo punteado, y por el teorema de Pitágoras |z|=√(a²+b²). El conjugado y el módulo van en pareja. Multiplica z por z̄ y los ángulos θ y −θ suman 0, mientras que las longitudes dan |z|·|z|, es decir, z·z̄=|z|². Los giros se cancelan exactamente y solo queda el cuadrado de la longitud. Puedes leer ese valor directamente en la línea de abajo, y este |z|² reaparece tal cual cuando más adelante midas la potencia en corriente alterna o la intensidad de una señal.