每个工科生的工具箱

向量是移动，也是一串数，由基本方向组合而成

拆开来分别解再加回去，结果一样——一切分解的根基

矩阵不是表格，而是把整个空间一起移动的动作

行列式就是这个变换把面积放大了多少倍

解方程组就是把变换倒回去，找出原来的输入

变换不改方向、只做拉伸的那些方向（特征值＝拉伸倍数）

同一个向量，用哪个基底来读，坐标就不同，选对基底能让变换变简单

投影是直线或平面上最近的点，余下部分总是垂直，叠加到数据上就成了最小二乘

任何矩阵都是旋转·沿轴拉伸·旋转三步，单位圆变成椭圆，奇异值就是它的半径

在数据云里找出最分散的方向，主成分是协方差矩阵的特征向量，只留下它们就降了维

点积一次性装下长度与方向的相似，去掉长度就得到余弦相似度，是搜索与推荐的核心

内积是定义长度·角·正交的一般结构，改变权重几何就弯曲，连函数也成了向量

从歪斜的基底里减去投影，造出正交规范基底，QR 的 Q 就是它

A=QR，拆成正交矩阵 Q 与上三角 R，稳定地求解最小二乘

超越 2×2 面积，走向 n 维带符号体积，用余因子展开计算，用克拉默法则解方程组

数·向量·矩阵是张量阶梯的头几级，外积造出秩1，矩阵就是它们之和

A=PDP⁻¹在特征基底里把变换变成纯拉伸，对称矩阵以正交特征向量对角化

分成列空间·零空间·行空间，秩+零化度=n，决定方程组有零个、一个还是无穷多解

xᵀAx 是以特征向量为轴、特征值为曲率的碗，符号决定最小、最大或鞍点

复数是平面上的点，相乘是角度相加、长度相乘的旋转

e^{iθ}=cosθ+i sinθ，通向相量与衰减螺旋的交流语言

函数弯曲网格却保留角度（共形），把难题搬到好办的形状求解

每点定下斜率，解顺着场流动，初始条件挑出曲线

弹簧与 RLC 是同一个式子，特征根的位置定下衰减与振动

驱动频率与固有频率相合时振幅爆发，阻尼定下峰（Q）

联立 ODE 是相平面流动，雅可比特征值定下不动点类型与稳定性

标量场每点一个数，向量场每点一支箭头，场是函数也是流动

值上升最快的方向，垂直于等高线，−∇f 是下降，∇f=0 是最优点

一点处净流出的量，源为正、汇为负，小环的通量就是散度

当地旋涡的强度与方向，逆时针为正、顺时针为负，小环的环量就是旋度

向量沿路径累积的功，一般依赖路径，但在保守场中与路径无关

内部散度之和等于边界通量，内部旋度之和等于边界环量，高斯与斯托克斯把内部和边界相连

一点比邻居平均高出或凹下多少，是梯度的散度，催生扩散与调和函数

旋度为零的场是某个势的梯度，与路径无关，闭环积分为零

梯度的旋度与旋度的散度恒为零，任何场都拆成源分量与旋涡分量

穿过曲面的通量，散度定理是体积内散度之和，斯托克斯把边界环量与曲面旋度相连

样本空间是面积为1的板，事件是区域，概率就是它的面积（并·交·补·条件·独立）

离散是 PMF 柱，连续以曲线下面积为概率，样本↑收敛到密度，CDF 是累积

E[X] 是概率重量的平衡点，方差是距离²的平均，标准差是同单位的宽度，aX+b 变换

68-95-99.7 法则，独立之和与样本均值收敛到正态（CLT），z 标准化，置信区间

在一点周围堆多项式来模仿曲线，离中心越远误差越大

幂级数在收敛半径内收拢成一个值、半径外发散，比值判别与边界

沿切线所指跳跃以快速逼近根，含失败情形与吸引域

把 x 反复送入 g(x) 会收敛到不动点，斜率小于1才会被吸入

沿微分方程的斜率直走一步步，步子大了误差就爆发

用矩形、梯形、辛普森量曲线下面积，条越多越精确

误差按方法的阶随步长缩小，精度、稳定性与成本的拉锯

用穿过点的函数填补空白，拉格朗日基与龙格现象，切比雪夫节点与样条

计算机浮点的极限，机器精度与舍入累积，灾难性相消与条件数