误差由步长决定
这一讲的所有方法都被同一个约定捆在一起：误差大约是 C 乘以 h 的 p 次方，即 error≈C·hᵖ，其中 p 是该方法的阶数。欧拉是一阶，RK2 二阶，RK4 与辛普森四阶。这为何重要？把误差对步长 h 画在对数-对数平面上，会得到一条直线，其斜率正是阶数 p。阶数=斜率。所以步长减半，p 阶误差缩小 2 的 p 次方倍，四阶方法竟达 16 倍。那么把 h 无限缩小就行了吗？不。太小时舍入误差会从地板冒起，显式方法越过稳定界限就会爆发。加之步数与 1/h 成正比增长，计算成本飙升。归根结底，在精度与成本之间找到平衡点，才是数值分析真正的功夫。
横轴是 log h，纵轴是 log(误差)。对 error=C·hᵖ 两边取对数就得到一条直线，其斜率正是阶数 p。三条直线分别是一阶、二阶、四阶。用分段按钮高亮某一阶，再用 h 滑块沿直线移动点。h 减小同样的量时，四阶的点下降得陡峭得多。阶数越高，同样的付出下误差降得越快。这一张图就是整讲的地图。
只看阶数逻辑，把 h 送向 0，误差似乎也会归零。现实并非如此。总误差是截断误差 C·h² 加上舍入误差 ε/h。缩小 h，第一项下降而第二项上升，于是曲线画出一个 U 形谷。把 h 滑块拖到谷的左端，点会变红，触到舍入误差地板，误差重新增大。没有什么是无限精确的。谷底就是那台机器能达到的最好结果。
阶数并非唯一的墙。取衰减方程 y'=−ky，令 k=5，用显式欧拉求解。上方的色带是步长轴。绿色区是稳定且精确，红色区是不稳定，分界在 h = 2/k = 0.4。把滑块点移到绿色内，越小越贴近真解。但越过 0.4 进入红色，无论精度如何，数值解都会变号并爆发。小步长不只是精确，更是防止发散的安全线。
现在把四种方法集到一个平面比较。Euler（一阶）、RK2（二阶）、RK4（四阶）、辛普森（四阶）的误差直线一同画出。用分段按钮选方法以高亮其直线，h 滑块会同时移动所有直线上的点。在大 h 处差异很小，但随 h 缩小，高阶方法变得压倒性地精确。同为四阶，辛普森的直线略低于 RK4，是因为它的系数 C 更小。阶数决定斜率，系数决定高度。
压轴是实战的拉锯。出现两条柱。误差 = C·h² 随 h 减小而缩短，成本 = 步数 ∝ 1/h 随 h 减小而增长。下方曲线是两者的加权和，即总损失。把 h 滑块拖到两端。一端误差过多，另一端成本过高，而正中某处藏着最佳点。点变绿之处，就是同时兼顾精确与成本的最佳步长。这正是整讲所指向的结论。