数值误差 步长
这一组方法被一个约定捆在一起。误差大约是 C 乘以步长的 p 次方，也就是 error≈C·hᵖ。这里的 p 是方法的阶。欧拉是 1 次，RK2 是 2 次，RK4 和辛普森是 4 次。用对数对对数作轴，把误差和步长 h 点出来，得到一条直线，斜率就是阶 p。阶=斜率。把步长减半，p 阶误差就缩小为 2 的 p 次方倍。4 次方法则是 16 倍。把 h 无休止地缩小并不是尽头。太小，舍入误差会从地板上冒出来。显式方法越过稳定界限就会爆发。步数按 1/h 增加，计算代价变大。精度和代价之间的平衡，才是数值分析真正要选的地方。
横轴是 log h，纵轴是 log（误差）。对 error=C·hᵖ 两边取对数，就得到一条直线，斜率恰好是阶 p。三条直线是蓝色的 1 次、橙色的 2 次、绿色的 4 次。用按钮突出一个阶，用 h 滑块移动直线上的点。同样地缩小 h，4 次线上的点下降得陡得多。阶越高，同样的力气让误差掉得越快。这一张图是整组的地图。
只看阶的话，把 h 送到 0，误差似乎也会变成 0。现实不是这样。总误差是截断误差 C·h² 加上舍入误差 ε/h。缩小 h，第一项下降，第二项上升。于是曲线画出一个 U 形的谷。把 h 滑块拖到谷的最左端，点变成红色，撞上舍入的地板，误差又变大。没有无限精密的计算。谷底是这台机器能给出的最好。
精度不是唯一的墙。衰减式 y'=−ky 取 k=5，用显式欧拉来解。上方的带子是步长的轴。绿色区域又稳定又准确，红色区域不稳定。边界是 h = 2/k = 0.4。把滑块的点放在绿色里面移动，越小越贴住真解。越过 0.4 进入红色，不论精度如何，数值解都会一边翻符号一边爆发。短步不只是精密，也是挡住发散的那条线。
把四种方法放在同一个平面上。Euler（1 次）、RK2（2 次）、RK4（4 次）、辛普森（4 次）的误差直线画在一起。用按钮选定方法，那条直线被突出，h 滑块同时移动所有直线上的点。h 大的时候差别小。h 越小，高阶方法越准确。同样是 4 次，辛普森的直线略低于 RK4，是因为系数 C 更小。阶决定斜率，系数决定高度。
最后是实务里的拉锯。看得见两根条。误差 = C·h² 随 h 缩小而变小，代价也就是步数 ∝ 1/h 随 h 缩小而变大。下方的曲线是两者相加的总损失。把 h 滑块拉到两端，一端误差太大，另一端代价太大。中间某处有一个最好的位置。点在那里变成绿色，那一步同时满足精密和代价。两端的点保持橙色。整组指向的结论就是这个位置。