拉普拉斯算子 是什么
站在一个点上，把紧邻四周的值平均一下。如果这个平均比你站的地方高，你就在洼地里。如果比平均低，你就在峰上。这个差就是拉普拉斯算子。它是梯度的散度 ∇·∇f，也就是 ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²，用一个数衡量你离邻居平均有多远。在峰上是负的，在洼地里是正的。热怎样扩散、膜怎样绷紧、势怎样安顿，都系在这一个量上。它把梯度、散度和旋度收成一个点上的 2 阶导数。 房间里的温度和角落的冷气混到均匀、只被边缘按住的橡皮膜在中间变平、空区域里的势安顿下来，都从这一个差开始。
在场上拖动探针，那个位置会有一个小环围着六个邻居点。画面下方出现三个数。中间的值、六个邻居的平均，以及与两者之差成比例的 ∇²f。放在右上的峰上，邻居平均比中间低，∇²f 降为负，成为蓝色的峰。放在左下的洼地，邻居平均更高，∇²f 升为正，成为金色的洼。这里用手确认，拉普拉斯算子就是你离邻居平均有多远的那一个数。 把环在峰和洼之间慢慢移动，负的差会在一道脊上变成正的，在那道脊上中间的值等于邻居的平均。
在同一个场上看，拉普拉斯算子为什么是梯度的散度。拖动探针，环上出现六支梯度箭头，每支箭头指向那一处最陡的上坡。在峰上，箭头全都聚向探针，因为上坡指向里面的峰。向内聚的流动散度为负，所以 ∇·∇f < 0。在洼地上，箭头全都向外伸，散度为正，所以 ∇·∇f > 0。画面同时写出 ∇²f = ∇·(∇f) 和它当下的值。把散度再作用一次到梯度上，就是拉普拉斯算子，箭头把这件事显示出来。 箭头聚到一处，那个点就在把高度让出去。箭头向四面伸开，那个点就在从四周把高度收回来填上。
现在用颜色看整片场的拉普拉斯算子，而不是一个点。滑块 s 把右上峰的高度从 0.5 变到 3，背景颜色就是 ∇²f 的地图。金色是洼（∇²f > 0，低于平均），蓝色是峰（∇²f < 0，高于平均），峰顶和洼底最浓。把 s 调大，右上的峰隆起，那里的蓝色区域更深更宽。把 s 调小，那个峰消退，蓝色变淡。左下的洼与 s 无关，保持金色。一个滑块把整张拉普拉斯地图重新涂过。 颜色浓的地方和邻居差得大，接近灰色的地方已经几乎等于邻居，剩下要抹平的就少。
拉普拉斯算子处处为 0 的场叫做调和场 (harmonic)。按下按钮，两种场交替出现。一种是 h(x,y) = x·y，鞍。每个点上横向凹下多少，纵向就凸起多少，两者抵消，∇²h = 0，中间样本的 ∇² 几乎显示为 0。另一种是 b(x,y) = 高斯峰，真正的凸起，中间的 ∇²b 是明显的负数。调和场里面不能有峰，也不能有洼。每个点都等于邻居的平均，所以最高和最低的地方总在边界上。这是稳态的热、势和膜的规则。 所以只定下边缘的温度，里面就跟着来。只定下边缘的势，空着的内部就自己填上。
看拉普拉斯算子为什么是扩散的引擎。热方程是 ∂f/∂t = ∇²f，意思是每一瞬间每个点的值按拉普拉斯算子变化。洼地 (∇²f > 0) 上升，峰 (∇²f < 0) 下降，于是每个地方都被拉向邻居的平均。格子上放着两个峰的起伏起点，每按一次一步，每一格就朝邻居平均走近一步。没有自动重复，只在按下时走一步。按得越多，峰越低，谷越被填平，颜色越均匀。按复位就回到最初的起伏。数着步数，拉普拉斯算子抹掉差别的过程就一步步显出来。 按得久，最初的起伏就消失，整张格子剩下一种平静的颜色。