拉普拉斯算子是与邻居平均的差
站在一个点上，把它紧邻的邻居所持的值取平均。若那个平均比你所站之处的值高，你就在一处洼地，比邻居陷得更低。若平均更低，你就在一座隆起的峰上。这个差，正是拉普拉斯算子。它是梯度的散度（∇·∇f），也就是 ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²，归根结底是用一个数量出"你偏离邻居平均有多远"。峰上为负，洼地为正。这一个量，牵动着热如何扩散、绷紧的膜如何安顿、乃至电位如何排布的规则。它是用一点处的二阶导数，为向量分析这一束（梯度、散度、旋度）收尾的算子。
在场上拖动探针。每放一处，都绕上一圈六个邻居取样点。画面下方出现三个数：中心值、六个邻居的平均、以及与二者之差成正比的 ∇²f。把它放在峰（右上）上，邻居平均低于中心，于是 ∇²f 为负，是蓝色的峰。把它放在洼地（左下）上，邻居平均更高，于是 ∇²f 为正，是金色的洼地。请亲手体会：拉普拉斯算子归根结底就是一个数——你偏离邻居平均有多远。
这次在同一个场上，看看拉普拉斯算子为何是"梯度的散度"。拖动探针，它周围的圈上出现六支梯度箭头。每支箭头都指向那一处最陡的上坡。在峰上，箭头全都朝探针聚拢，因为上坡指向内侧的峰。向内聚拢的流动散度为负，所以 ∇·∇f < 0。在洼地上，箭头全都向外伸展，散度为正，∇·∇f > 0。画面上显示"∇²f = ∇·(∇f)"以及它的实时值。用箭头亲眼看到：拉普拉斯算子就是散度（第3讲）对梯度（第2讲）再作用一次。
现在不看一个点，而用颜色看整片场的拉普拉斯算子。滑块 s 把右上那座峰的高度从 0.5 改到 3。背景颜色正是 ∇²f 的地图。金色是洼地（∇²f > 0，低于平均），蓝色是峰（∇²f < 0，高于平均），峰顶与洼底显得最浓。调大 s，右上的峰拔起，那里的蓝色区域加深、扩大。调小 s，那座峰平息，蓝色淡去。左下的洼地不论 s 如何都保持金色。看一个滑块如何把整张拉普拉斯地图重新上色。
拉普拉斯算子处处为0的场，称为调和场（harmonic）。用按钮切换两个场。一个是 h(x,y) = x·y，一个鞍形。在每一点上，横向凹进多少，纵向就凸出多少，二者恰好抵消，于是 ∇²h = 0。中心取样的 ∇² 读数显示近乎0。另一个是 b(x,y)，一座高斯隆起，一个真正鼓起的包，所以在中心 ∇²b 明显为负。要点在此：调和场内部不能有峰，也不能有洼。既然每一点都等于其邻居的平均，最高或最低之处便永远只在边界上。这就是稳态热、电位、绷紧的膜背后的深层规则。
看看拉普拉斯算子为何是扩散的引擎。热方程是 ∂f/∂t = ∇²f。它说每一点的值，每一刻都按它的拉普拉斯算子变化。洼地（∇²f > 0）升起，峰（∇²f < 0）落下，于是处处都被拉向邻居平均。格子有一个凹凸不平的初始状态，上面摆了两座峰。每按一次"单步"按钮，每个格子就朝它的邻居平均迈一步。没有自动循环。只有你按时才走一步。越按峰越低、谷越满，颜色舒展得越均匀。"复位"回到最初凹凸的状态。一边数步数，一边分阶段亲眼看拉普拉斯算子如何抹平差异。