线性就是"可以拆开来算"的承诺
到这儿我们看了矩阵、行列式、特征值，可其实有一个性质在底下撑着这一切运转。线性。名字唬人，意思就一个："拆开来分别处理，再加回去，跟一口气处理是一样的。"它就是这么个承诺——能把复杂的东西拆成简单的零件来解。第2讲说过，任何向量都是 î 和 ĵ 的组合；第5讲说过，矩阵只要追 î 和 ĵ 就行。这能成立，正是靠这个线性。这一讲，就是连起那两讲的桥。
一个变换"是线性的"，意思就是它守两条规则。第一，先加再变换，和先变换再加，结果一样。第二，先放大再变换，和先变换再放大，结果一样。就在这儿亲手验一验。拖动向量 a、b，看两条路径是不是总落在同一个点上。只要守住这两条规则，这个变换就是线性的。看着没什么了不起，对吧？可正是这个"没什么了不起"的承诺，让一切成为可能。
把第一条规则细看。一条路：先把 a 和 b 加起来（a+b），再变换。另一条路：把 a 和 b 分别变换，再把结果加起来。两条路落到的地方，分毫不差地一样。先加还是先变换，根本无所谓。把 a、b 挪来挪去看看。两条路总在同一个点上会合。所以你不必把合起来的东西当成一整块来处理，分开处理各个零件就行。
第二条规则。把向量 v 放大3倍再变换，和把 v 变换了再放大3倍。还是一样。输入翻倍，输出就正好翻倍；翻三倍就翻三倍。干干净净地成比例，没有多余。用滑块改一改倍数。放大放在前还是放在后，结果都一样。你给输入加了多少，原样映到输出上——这就是线性最核心的那种感觉。
把这两条规则合起来，会冒出一个了不得的东西。任何向量，都能像第2讲那样拆成一份 î 和一份 ĵ。靠着线性，变换会分别作用在每一份上，你只要把结果加回去就行。也就是说，变换(任何向量) = (它的 î 的量)·变换(î) + (它的 ĵ 的量)·变换(ĵ)。只要知道变换把 î 和 ĵ 送到哪儿，剩下无穷多个向量，全都自己跟上来。拖动一个向量，看它拆成 î 和 ĵ 两份、被变换、再合起来。第5讲那个矩阵只要两列、只要 î 和 ĵ 的去向就够了，原因正是这个——线性把剩下的都包了。
这条规则在工程里有个有名的名字：叠加原理。如果输入 A 产生输出 A，输入 B 产生输出 B，那么输入 A+B 就正好产生输出 A+B。合起来，不会冒出意外。所以你把一个乱糟糟的输入拆成简单的零件，各自解出来，再把答案加起来，就完事了。把声音拆成纯音（下一讲傅里叶里会讲）、把电路里的多个电源分开算再相加，全是这个叠加。反过来，不是线性的就做不到这一点。看看平方：(a+b)² 并不等于 a²+b²。一合起来，就蹦出个意想不到的东西。所以我们能干净利落解出来的问题，几乎都是线性的。