线性 是什么

一个变换是线性的，意思是它遵守两条规则。第一，先加再变换，和先变换再加，结果相同。第二，先放大若干倍再变换，和先变换再放大同样的倍数，结果相同。图中两支浅色箭头是输入，深绿色和橙色的箭头分别是它们变换后的结果。橙色虚线把橙色箭头接在绿色箭头的尖端，它的终点与金色箭头的尖端正好重合，而金色箭头就是先把两个输入相加再变换的结果。把深色手柄 a、b 拖到任何地方，两条路总会到达同一点；图下方用式子写出了这两条规则。只要遵守这两条规则，这个变换就是线性的。这个约定看似不起眼，后面几乎所有计算却都靠它。

先仔细看第一条规则。一条路是先把 a 和 b 相加 (a+b) 再变换，另一条路是分别变换后再把结果相加。图中的金色对角线是第一条路，以绿色和橙色箭头为两边的平行四边形是第二条路。平行四边形的对角顶点与金色对角线的端点完全相同，这说明先做加法还是先做变换都无所谓。把手柄 a、b 随意移动，平行四边形始终在金色端点处闭合。所以，不必把合起来的东西整个处理，分开处理各部分就行。

第二条规则。把向量 v 放大 3 倍再变换，和把 v 变换后再放大 3 倍，结果同样相同。输入放大两倍，输出也正好放大两倍；放大三倍，输出就放大三倍，干净利落地成比例。图中的浅色箭头是作为基准的输出；用滑块改变倍数 c，金色箭头就沿着虚线按这个倍数伸长或缩短。c 变成负数时，箭头翻到另一侧并变成红色，但仍不离开同一条直线。放大放在前面还是后面，结果都一样；输入里给了多少，输出里就原样体现多少。这就是线性的核心感觉。

把两条规则合起来，会得到一个很有力的结论。正如上一讲“向量就是一个移动”所见，任何向量都能拆成 î 部件和 ĵ 部件；由于线性，变换分别作用在每个部件上，最后只要把结果加起来。写成式子就是：变换(任意向量) = (该向量中 î 的量) × 变换(î) + (ĵ 的量) × 变换(ĵ)。只要知道变换把 î 和 ĵ 送到哪里，其余无穷多个向量就全都跟着确定了。用手柄拖动输入向量，输出一侧的绿色虚线按需要的个数排出 î 变换后的箭头，橙色虚线再接上 ĵ 变换后的箭头，正好到达蓝色输出箭头的尖端。下方的式子写出了所用的个数。后面“矩阵就是变换”一讲中矩阵只用 î、ĵ 两列就能写出来，原因正是这个，其余的都由线性负责。

这个性质在工程中有个著名的名字：叠加原理。如果输入 A 产生输出 A，输入 B 产生输出 B，那么输入 A+B 恰好产生输出 A+B。合在一起也不会出现意外。用按钮一步步往下走，图中会依次出现输入 A 和它的输出、输入 B 和它的输出；到最后一步，接在绿色输出尖端的橙色虚线正好落在金色输出的尖端。所以，杂乱的输入可以拆成简单的部件，分别求解，再把答案相加就完成了。用傅里叶分析把声音拆成纯音，把电路里的各个电源分别计算再相加，这些都是叠加。非线性的东西做不到这一点。光看平方就知道，(a+b)² 不等于 a²+b²，合起来会冒出意想不到的项。我们能干净利落地解出的问题几乎都是线性的，原因就在这里。