行列式 面积

想知道面积变成几倍，只要选一个基准图形，看它变大了多少。最干净的基准是 î 和 ĵ 张成的单位正方形，面积正好是 1。施加矩阵后 î 和 ĵ 会移动；正如上一讲“矩阵就是变换”所见，矩阵的两列就是 î 和 ĵ 去的地方。于是正方形被挤成平行四边形。拖动四个滑块，金色平行四边形随之变形，下方同时写出行列式和它的绝对值，也就是面积。原来的面积是 1，所以变化后的面积就是放大的倍数，这就是行列式。行列式变成负数时平行四边形会变红，它的意思稍后再讲。用坐标直接计算这个平行四边形的面积，结果正好是 ad 减 bc。学校里背的那个公式，其实就是求这块面积的式子。

你也许会问，是不是只有单位正方形才这样。不是。放上任何图形，面积都按同一个比例变化。圆也好，歪歪扭扭的形状也好，把它切成许多小正方形来想，每一小块都按同样的倍数放大，整体自然也按同样的倍数放大。图中同时放着绿色三角形和蓝色四边形；用滑块改变矩阵，两个图形各自以不同的方式变形，但下方写出的两个面积倍数始终彼此相等，也等于行列式的绝对值。所以行列式不是某一个图形的性质，而是均匀作用于整个空间的一个面积倍数。

面积本该是正的，行列式却有时是负数。负的面积是什么意思？意思是空间被翻过来了。把纸翻过来，字就像照镜子一样左右颠倒；变换也会这样把平面翻面。原本从 î 到 ĵ 是逆时针转，翻面之后就变成顺时针。图中的弧线和箭头表示从 î 转到 ĵ 的方向；把滑块往左推，行列式一变成负数，弧线就反向转动并变红，标签也变成“翻面”。负号记录的正是方向反了这件事。一个行列式里同时装着面积倍数这个大小，以及是否翻面这个方向。

现在来看最重要的情况。这张图里的滑块直接控制行列式。慢慢把行列式调到 0，平行四边形越来越扁，最后压成一条直线。面积变成 0，二维被压成了一维。这时下方会出现“没有逆矩阵”的警告。关键在于，一旦被压扁就没有办法复原。不同的点被压到了同一个位置，只看直线上聚集的点，无法知道它们原本来自平面的哪里。“行列式为 0 就没有逆矩阵”这句话，说的其实就是这幅图。被压扁的东西展不开。这个话题会在下一讲的线性方程组与逆矩阵中正式接着讲。

连续做两次变换，面积会怎样？不必想复杂。先做一个把面积放大 2 倍的变换，再做一个放大 3 倍的变换，最终面积就是 2 乘 3，也就是 6 倍。所以矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积：det(AB) = det(A) × det(B)。人们通常把它当公式背，可只要想到倍数是相乘的，就再自然不过了。用图中的箭头按钮把第一个矩阵、第二个矩阵依次作用在单位正方形上，下方的面积值每一步都按乘法增长，最后一行确认两个行列式的乘积等于复合变换的行列式。