行列式就是面积的倍数
在学校学行列式的时候，你大概只是把它当成 ad 减 bc 背了下来。可是没人告诉你它到底是什么意思。其实啊，行列式是个特别直观的数。它就是这个变换把面积放大了多少倍，仅此而已。det 是3，任何图形的面积都变成3倍；det 是0，整个空间就被压扁了。这一句话一旦想通，ad 减 bc 这个公式、还有为什么有时候没有逆矩阵，全都从同一幅画里出来。
那面积到底放大了几倍，怎么量呢？挑一个基准图形，看它变得多大就行。最干净的基准，就是 î 和 ĵ 围成的单位正方形，面积刚好是1。现在套上一个矩阵，î 和 ĵ 就动了。还记得第5讲吗？矩阵的两列，就是 î 和 ĵ 落脚的地方。所以这个正方形被扭成了平行四边形。拖动滑块看看。这个平行四边形的面积，就是行列式。因为一开始面积是1，变化后的面积就直接是"变成了几倍"，那就是 det。而且把这个平行四边形的面积用坐标算出来，正好就是 ad 减 bc。你在学校背的那个公式，原来一直就是求这块面积的式子。
"会不会只有单位正方形才这样？"你可能会这么想。不是的。你放任何一个图形上去，它的面积都按同一个比例变化。圆也好，歪歪扭扭的形状也好，把它切成一堆小正方形来想，它们都按同一个倍数伸缩，那整个图形也一样。所以行列式不是某一个图形的性质，而是同时作用于整个空间的一个"面积倍数"。换着图形试试看。形状变了，倍数不变。
不过呢，面积应该是正的，行列式却有时候算出来是负的。负的面积？这是什么意思？意思是空间被翻面了。把一张纸翻过来，字就像照镜子一样左右反了。变换也能这样。本来从 î 到 ĵ 是逆时针转的，一翻面就变成顺时针了。这个"方向反过来了"，就被那个负号抓住了。所以一个行列式里，同时装着大小（面积倍数）和方向（翻没翻面）。用滑块把符号拨到负数，看那个正方形翻过来。
现在是最重要的情况。轻轻拖滑块，把行列式变成0。平行四边形越来越扁，最后压成了一条线。面积变成0了。二维被压成了一维。关键在这儿：一旦这样压扁了，就再也回不去了。光看挤在那条线上的点，你没法知道它们原来在平面的哪里——因为不同的点被压到了同一个位置。"行列式为0就没有逆矩阵"这句吓人的话，其实就是这幅画。压扁的东西展不开。这个话题在下一讲（线性方程组、逆矩阵）里好好接着讲。
连着做两次变换，面积会怎样呢？别想得太复杂。先把面积放大2倍，再放大3倍，最后的面积就是2乘3，6倍。所以两个矩阵相乘之后的行列式，等于各自行列式相乘。det(AB) = det(A) 乘 det(B)。大家通常把这个当公式背，可只要想着"倍数是相乘的"，就太理所当然了。把两个变换按顺序套上去，看面积倍数是不是以乘积的形式出来。