收敛半径 是什么
幂级数是把 x 的幂无限加起来的式子。写成 1 + x + x² + x³ + ...。项加得再多也能得到有限值，原因在距离。离中心半径 R 以内，项越来越小，和收到一个值上。走出 R，项反而变大，和会无休止地胀开。这段边界距离 R 就是收敛半径。最干净的例子是等比级数 1 + x + x² + ... = 1/(1-x)，这里 R=1。边界上的 x=±R 要单独查看。下面的图给出部分和在内部贴住、在外部跳开的样子，用比值判别法定下 R 的办法，以及边界的微妙。后面图里的金色带子，把收敛的内部和发散的外部分开。
金色是部分和 SN(x) = 1 + x + ... + xN，灰色是真极限 1/(1-x)。把项数 N 调大，在区间 (-1, 1) 里面，N 越大金色越贴住灰色。可是在 |x|>1 那一侧正好相反。N 越大，金色上下跳得越陡，离灰色越远。观察点 x 可以移动。点在带子里面，S 收敛到 1/(1-x)。在外面，读数就写出发散。级数随距离或存或亡，都在这一张图里。颜色把带子的里面和外面分开。
半径用比值判别法来求。看相邻两项大小之比，也就是下一项除以这一项。对 Σ xⁿ，这个比始终是 |x|。柱子是项的大小 |x|ⁿ。移动 x 滑块，差别就显出来。|x|<1 时比小于 1，柱子依次变短，呈绿色，是收敛。|x|>1 时柱子越来越大，呈红色，是发散。比恰好等于 1 的 |x|=1，就是收敛与发散的边界，也就是半径。在那条边界上柱子是金色的，比值判别法不再多说。边界上的命运，在后面两张图里继续。
现在在数轴上直接取半径。级数 Σ(x/a)ⁿ 的收敛半径是 R=a。中心 0 周围的金色带子是收敛区间 (-R, R)。用半径滑块把 R 调大，带子变宽。调小，带子变窄。移动观察点 x。点在带子里是绿色（|x|<R，收敛）。走出带子就变成红色，发散。收敛说到底就是距离 |x| 是否比半径 R 更近这一行条件。不论正负，只看绝对值，所以收敛区域总是关于中心对称的区间。落在边缘上的点是边界，既不是内部也不是外部。
半径相同，边界上的命运也可以各自不同。可以在三个级数里选。三个的半径都是 1，可是在边界 x=±1 上的行为不同。Σxⁿ 在两端都发散。Σxⁿ/n 在 x=-1 上正负交替相加而收敛，在 x=+1 上变成调和级数而发散。Σxⁿ/n² 的项缩小得更快，两端都收敛。左面板和右面板就是那两端，柱子是部分和的走势。收到一个值上就是绿色的收敛，无休止地漂或跳就是红色的发散。边界是比值判别法放手的地方，所以每个级数要单独看。
最后回到作为锚的等比级数。1 + x + x² + ... = 1/(1-x)，只在 |x|<1 时成立。一根柱子是一项 xⁿ，从上往下叠，和聚向绿色虚线所在的 1/(1-x)。把比 x 放在 0.6 这样的正数上，金色柱子在同一侧越来越短，落到一个值上。把 x 取成负数，柱子在基线左右交替，负项是蓝色，彼此削去，可是因为 |x|<1，最后仍然收到一个值上。只有项缩得够快，也就是距离在半径以内，无限和才是有限的。绿色虚线是和该落的位置，柱子叠到那条线，级数就变成了有限值。