向量就是一个移动
一说"向量"，你会想到箭头的图，也会想到 (3, 2) 这样的一对数。到底哪个才是真正的向量？这大概把你绕过。答案是，两个都是，而且其实是同一个东西。向量就是一个"往这个方向走这么远"的移动。把这个移动画成箭头，就是图；把它沿每条轴走多远写下来，就是一对数。只要抓住这个视角，向量加法、矩阵、后面所有的东西都会顺下来。而这一讲，会揭开第5讲悄悄用过的那个"î, ĵ"到底是什么。
把向量看成一个"移动"。(3, 2) 的意思是"向右走3格，向上走2格"。拖动箭头看看。旁边那对数也跟着一起变。反过来改数字，箭头就动。箭头和那对数，只是把同一道指令写成了两种样子。看图直观，写成数好算。哪个顺手就用哪个。能在两者之间自由切换，就是第一步。
向量相加会怎样？就是把移动接起来。先走 a，再从那儿走 b，最后落到的地方就是 a + b。把箭头首尾相接看看：让 b 从 a 的末端出发，从最初的起点到 b 的末端，就是和。用数就更简单了——按分量相加就行。(3,2)+(1,4) 就是 (4,6)。把移动接起来，这就是向量加法的全部。
给向量乘一个数会怎样？方向不变，只有距离变。乘2就走两倍远，乘0.5就走一半，方向都一样。乘负数呢？长度不变，翻到正相反的方向去。用滑块拖那个乘数看看。箭头在同一条直线上，伸长、缩短、翻转。给向量乘个数，就是"方向留着，只调距离"。
现在是核心。准备两支基本箭头：向右一格的 î，向上一格的 ĵ。光把这两个拉伸、相加，你就能到达平面上的任何一点。(3, 2) 呢？就是3个 î 加2个 ĵ，也就是 3î + 2ĵ。拖动目标点看看。你会看到那个点是由"几个 î 加几个 ĵ"拼出来的。平面上的每一个向量，说到底就是一份配方：多少个 î 加多少个 ĵ。第5讲说矩阵只要知道 î 和 ĵ 去哪儿就行，正是因为这个——每个点都是 î 和 ĵ 的组合。
那用 î 和 ĵ 能走到多远？整个平面。这就是"二维空间"这个词的意思：用两个不同的方向组合，能到达的所有点。要是你那两个方向都是横着、并排的呢？不管你怎么加、怎么拉，也只能拼出一条横的直线。填不满平面。用切换把两个方向变成平行的看看。平面缩成了一条线。所以空间就是"你的方向能到达的所有点"，只有当方向彼此独立时，整个平面才豁然打开。（这个"一平行就被压扁"，跟第6讲的行列式为0是连着的。）