向量 是什么
一说到向量，你可能想到一支箭头，也可能想到 (3, 2) 这样的一对数。哪一个才是真正的向量？答案是两个都对，而且它们是同一个东西。向量就是“朝这个方向走这么远”这样一个移动。把这个移动画成箭头，就是图；把每条轴上各走多少记下来，就是数对。抓住这个视角，向量加法以及后面要学的矩阵，都能用同一种说法读懂。后面“矩阵就是变换”一讲把 î 和 ĵ 当作读懂矩阵的钥匙，这一讲先把它们是什么讲清楚。
把向量当作移动来读，(3, 2) 就是“向右走 3 格、向上走 2 格”的指令。图中的蓝色箭头画的就是这条指令，下方的数对则是用数字写下的同一条指令。拖动箭头的尖端，数对会以半格为单位一起变化，因为图和数始终指向同一个移动。看图，方向和长度一目了然；写成数，计算就很方便。根据问题选顺手的一种，能在两种写法之间自如切换，就是第一步。
向量相加，就是把移动接起来。先沿 a 走，再从那里沿 b 继续走，最后到达的点就是 a + b。后一支箭头从前一支箭头的尖端出发，所以这种做法叫“首尾相接”(tip-to-tail)。图中橙色虚线从绿色箭头 a 的尖端出发，从原点连到 b 末端的蓝色箭头就是和。拖动绿点或蓝点，下方算式里的分量会跟着变。用数字算更简单，各分量分别相加即可，所以 (3,2)+(1,4) 等于 (4,6)。按顺序把移动接起来，向量加法的全部就是这些。
给向量乘一个数，方向仍留在同一条直线上，只有距离改变。乘 2 就走两倍远，乘 0.5 就朝同一方向只走一半。乘一个负数，长度按它的大小伸缩，方向却翻到正相反。拖动 s 的滑块，灰色箭头留在原处，乘过的箭头沿着虚线伸长、缩短。s 一进入负数一侧，那支箭头就跳到另一边并变成红色。给向量乘一个数，就是保持方向不变、只调节距离。
这是本讲的核心。准备两支基本箭头：向右走一格的 î 和向上走一格的 ĵ。只要把这两支箭头伸缩再相加，就能得到平面上的任何一点。(3, 2) 用了 3 个 î 和 2 个 ĵ，所以写成 3î + 2ĵ。拖动蓝色的点，图上会画出到达它的路线：先从原点沿绿色虚线朝 î 的方向走，再沿橙色虚线朝 ĵ 的方向往上，到达那个点。下方的算式显示这个点由几个 î 和几个 ĵ 组成。平面上的每个向量，归根结底都只是“几个 î 加几个 ĵ”这样一份配方。后面“矩阵就是变换”一讲说只要知道 î 和 ĵ 落在哪里，整个矩阵就确定了，原因正在于此：每个点都是 î 和 ĵ 的组合。
那么，用 î 和 ĵ 能走到哪里？答案是整个平面，这正是“二维空间”的意思。把两个不同的方向伸缩、相加后能到达的所有点合在一起，就是空间。如果两个方向落在同一条直线上，情况就不同了：不管怎样伸缩、相加，都离不开那条直线。图中一开始，绿色的 u 和橙色的 w 指向不同的方向，整个画面都涂上了颜色。按下“变平行”按钮，w 转到与 u 同一条直线上，涂色区域缩成沿这条直线的一条窄带。空间就是你手里的方向能到达的全部点，只有方向彼此独立时，整个平面才完全打开。“平行就会被压扁”这个观察，与“行列式就是面积的倍数”一讲中的行列式为 0 直接相连。