二阶微分方程 阻尼
挂在弹簧上的重物晃一阵就停下来，收音机的电路在某个特定频率上振荡。看起来毫不相干的两者，其实遵循完全相同的方程。质量、阻尼器、弹簧的 m x'' + c x' + k x = 0，和线圈、电阻、电容的 L q'' + R q' + qC = 0，只是字母不同，结构一模一样。这就是 2 阶线性微分方程。上一讲说过，1 阶方程沿方向场流动。到了 2 阶，加速度加入进来，振动就成为可能。至于这种振动是晃一阵再停下，还是顺顺地回到原位，由叫作特征根的两个数决定。而当特征根是复数时，复数那条线上见过的 e(σ+iω)t 衰减螺线，就直接作为答案冒了出来。这一讲亲手移动特征根，看看它的位置如何决定振动的命运。
先看看弹簧和电路是不是真的同一个式子。图的上方是用弹簧和阻尼器连在墙上的质量，下方是由线圈、电阻、电容组成的 RLC 电路。用下方的按钮逐一选择一对，上下对应的两个部件就会一起亮起来。质量 m 与线圈 L 是一对。两者都是抗拒变化的惯性：质量想保持速度，线圈想保持电流。阻尼器 c 与电阻 R 是一对。两者都把能量以热的形式散掉，使运动减弱。弹簧 k 与电容的 1C 是一对，两者都是被推多少就推回多少的恢复力。所以两个方程 m x'' + c x' + k x = 0 和 L q'' + R q' + qC = 0 是只换了字母的双胞胎。解出一个，另一个也就解出来了。机械工程和电气工程用同一套数学并非偶然，而是因为自然在重复同样的结构。
这个方程怎么解？关键的想法是猜测答案具有 est 的形式。指数函数求导后还是它自己，所以想起上一讲的 y'=ky，代入 x=est 后，求导就变成了乘以 s。于是 m x'' + c x' + k x = 0 缩成了整洁的 2 次式 s² + 2ζs + 1 = 0（为方便起见做了归一化）。这个 2 次式的两个根就是特征根，掌握着答案的全部性质。把根标在复平面上，也就是电气工程里所说的 s 平面上，欠阻尼时两个根作为一对共轭点落在半径为 ω₀ 的虚线圆上。实部 −ζ 表示往左进去了多少，即衰减；虚部 ±√(1−ζ²) 表示上下分开了多少，即振动频率。换按不同的 ζ 按钮，两个根就沿圆滑动。求解变成了寻找这两个点。
特征根是复数时会发生什么？答案恰好是复数那条线上见过的那种衰减螺线。若根为 s = σ ± iωd，答案就是 eσt 与振动 cos(ωd t) 相乘的形式。所以看时间响应，它像余弦一样摆动，振幅却沿着 eσt 包络线越来越小。敲一下钟，声音响起又渐渐消失，正是这个样子。实部 σ 是决定消失得多快的衰减率，虚部 ωd 是决定摆动得多快的振动频率。用 ζ 按钮把根移近虚轴，衰减变弱，就会响很久。反过来，根离虚轴越远，消失得越快。从侧面看前面的螺线，看到的正是这条摆动的曲线。一对复特征根就是一个衰减振动。
阻尼越来越大会怎样？到某一刻，振动会完全消失。阻尼足够强时 (ζ ≥ 1)，特征根从复数变为实数。在 s 平面上，原本在圆上的那对共轭点在负实轴上相遇，两者都成了实根。既然不是复数，就没有 cos 振动。答案是一条按指数衰减的单调曲线，不摆一下就悄悄回到原位。用两个按钮比较两种情况，临界阻尼 (ζ = 1) 是不振动而回得最快的那个恰好的边界状态。过阻尼 (ζ > 1) 太硬，回得慢吞吞。汽车减震器、防止门砰地关上的闭门器，都特意设计在这个区域，也就是不振动的一侧。不允许晃动的系统，就把特征根放在实轴上。
现在把全部内容汇集到一个画面里。上方是特征根所在的 s 平面，下方是这些根产生的时间响应。在下方的轨道上把 ζ 从 0 慢慢调大，一开始两个根作为共轭对在圆上靠近虚轴，响应会响很久。ζ 越大，两个根沿圆向实轴滑动，余响消失得越来越快。在 ζ = 1 时两个根恰好在实轴上相遇，这一刻就是临界阻尼，也是振动消失的边界。轨道上的刻度标出了这个位置。再调大，两个根在实轴上向两侧分开，响应变成缓慢的单调回归。上方的两个点和下方的曲线像一个整体一样同步移动。这就是 2 阶系统的全部。根的位置一个就决定了是否振动、衰减多快、摆动多快。控制工程归根结底，就是把这些特征根移到想要位置的技术。