振动由特征根决定
挂在弹簧上的重物摆动后渐渐平息；收音机的电路在某个特定频率上颤动。这看似毫不相干的两者，其实遵循同一个方程。质量-阻尼-弹簧的 m x'' + c x' + k x = 0，以及线圈-电阻-电容的 L q'' + R q' + qC = 0，只是字母不同，结构如出一辙。这就是二阶线性微分方程。C1 里我们说，一阶方程顺着方向场流动。二阶让"加速度"进来，于是振动成为可能。可这振动怎么动——是振一阵停下，还是悄悄地缓缓回来——只由两个数决定，那就是特征根。而当这些根是复数时，A2 里见过的 e(σ+iω)t 衰减螺旋，正好作为答案蹦了出来。这一讲里，你会亲手移动特征根，看看每一种振动的命运是在哪里分道扬镳的。
先看看弹簧和电路是不是真的同一个式子。左边是用弹簧和阻尼器挂在墙上的质量，右边是由线圈、电阻、电容组成的 RLC 电路。用按钮把成对的挑出来，三组精确对应。质量 m 和线圈 L 配对——两者都是抗拒变化的惯性：质量想保住速度，线圈想保住电流。阻尼器 c 和电阻 R 配对——两者都把能量当作热耗掉，削减运动。弹簧 k 和电容的 1C 配对——两者都是按被推开的程度往回拉的回复力。所以两个方程 m x'' + c x' + k x = 0 和 L q'' + R q' + qC = 0，是只换了字母的双胞胎。解出一个，另一个也就解出来了。机械工程和电气工程用同一套数学并非巧合——是自然在重复同一种结构。
这个方程怎么解？关键想法是去猜"答案是 est 的形式"。指数函数求导还是它自己（记得 C1 的 y'=ky 吧），所以把 x=est 代入，求导就变成只是乘以 s。于是 m x'' + c x' + k x = 0 缩成一个干净的二次式 s² + 2ζs + 1 = 0（为方便已归一化）。这个二次式的两个根 s 就是特征根，它们攥着答案的全部性格。把根画在复平面上——电气工程里叫 s 平面——欠阻尼时，两个根作为一对共轭，落在以原点为心、半径为 ω₀ 的圆上。实部 −ζ 是往左进了多深（衰减），虚部 ±√(1−ζ²) 是上下张开了多少（频率）。改变 ζ，看根怎样沿圆滑动。求解，已经变成了"找这两个点"。
特征根是复数时会怎样？答案正是 A2 里见过的那条衰减螺旋。若根是 s = σ ± iωd，答案就是 eσt 乘上振荡 cos(ωd t)。所以看时间响应，会看到像余弦一样摆动的东西，可它的振幅沿着 eσt 包络渐渐变小。这正是敲一下钟、声音回响又渐息的形状。实部 σ 定下它多快平息（衰减率），虚部 ωd 定下它多快摆动（频率）。把 ζ 调小，让根靠近虚轴，衰减就变弱，于是响很久。反过来，根离虚轴越远，平息得越快。把 A2 的螺旋从侧面看，就是这条摆动的曲线。一对复特征根，就是一段衰减振动。
不断加大阻尼，会怎样？到某一刻，振荡完全消失。阻尼足够强时（ζ ≥ 1），特征根从复数变成实数。在 s 平面上原本落在圆上的那对共轭，在负实轴上相遇，变成两个实根。不是复数，所以没有余弦振荡。答案就是一条指数衰减的单调曲线，毫无摆动，悄悄地回到原位。比较这两种情形。临界阻尼（ζ = 1）是恰好的分界状态——不带任何振荡、回得最快。过阻尼（ζ > 1）则太"硬"，慢吞吞地回来。汽车的减震器，或让门不"砰"地关上的装置，都被特意设计进这个区域，也就是不振荡的那一侧。绝不能颤动的系统，就把特征根放在实轴上。
现在把整件事汇成一个画面。上面是特征根所住的 s 平面，下面是这些根造出的时间响应。把 ζ 从 0 慢慢加大。起初两个根作为一对共轭落在圆上、靠近虚轴，响应响很久。ζ 增大，两个根沿圆向实轴滑去，回响平息得越来越快。在 ζ = 1，两个根恰好在实轴上相遇，那一刻就是临界阻尼，是振荡消失的分界。再加大，两个根在实轴上向两侧分开，响应变成缓慢的单调返回。上面的两个点和下面的曲线，像一个身体一样一起动。这就是二阶系统的全部。仅凭根的位置，就定下了它振不振、多快平息、多快摆动。控制工程说到底，就是把这些特征根挪到你想要的位置的手艺。