矩阵就是变换
矩阵这东西，第一眼看上去，就是把数字排成方块的一张表。所以大家都想去背它——可这正是它让人一辈子犯晕的原因。矩阵不是表格，而是一个动作。说得准确点，它是一个把平面上所有点同时移动的函数：把空间拉伸、旋转、斜着推。这一幅画一旦在脑子里坐稳，矩阵乘法为什么是那样定义的、特征值到底在看什么，都会突然变简单。慢慢跟着来。
先找找感觉。屏幕上铺着网格。用滑块改变矩阵里的数字看看。整个网格跟着一起弯、一起伸。不是一个点在动，而是整个平面作为一整块在动。这就是变换的真面目：一个矩阵，就是一道"把这个空间这样改"的命令。关键在于，网格不是乱七八糟地皱起来。直线变换之后还是直线，平行的线变换之后还是平行，间距也保持均匀。这样"保持着规整"去改变空间，就是矩阵变换。
那么，这个看起来挺复杂的变换，怎么用区区几个数字就写全呢？秘密简单得出乎意料：你只要追踪两个点。向右走一格的箭头 î，向上走一格的箭头 ĵ。只要知道这两个在变换后去了哪儿，就完事了。而那两个"落脚的位置"，正是矩阵的两列。第一列是 î 去的地方，第二列是 ĵ 去的地方。看着矩阵，按一下切换看看。那四个看起来毫无意义的数字，原来一直就是"把 î 和 ĵ 送到这儿"的坐标。
"光知道 î 和 ĵ 有什么用？其他的点呢？"这儿就是核心。其他的点根本不用单独去知道。平面上任何一个向量，说到底都是若干个 î 加上若干个 ĵ。比如 (3, 2) 这个点，就是3个 î 加2个 ĵ。而变换会原封不动地保住这个"相加的比例"。所以变换后的 (3, 2)，就是 î 去的地方放3个、ĵ 去的地方放2个，加起来的位置。拖动向量确认一下。这就是线性。只要定下 î 和 ĵ 的命运，剩下无穷多的点就会自己跟上——正是靠这个性质，矩阵那四个数字才能操控整个空间。
做了一次变换之后，想在上面再做一次怎么办？比如先旋转，再拉长。这时候，把两个矩阵相乘就行。也就是说，矩阵乘法其实就是"一个接一个地做变换"。还记得在学校学过，要按那种奇怪的方式去乘行和列吗？那条怪规则，算的正是"把变换按顺序应用之后的结果"。所以顺序很重要。先转再拉，和先拉再转，结果是不一样的。把两个变换的顺序换一下，看那幅画就变了。AB 和 BA 不一样，不是要背的规则，而是本来就理所当然的事。
现在来逛几个有代表性的变换。旋转、放大、剪切（斜着推）、反射。按一按按钮，你会看到每一个都对应着一个矩阵。我们知道的所有"改变空间的动作"，到头来都是矩阵。最后，按一下"压扁"按钮。空间被压成了一条线。这是个有点特别的情况，这时候有个叫行列式的值会变成0，是变换把空间压扁了的信号。这个"变平"到底意味着什么，我们马上在下一讲（行列式）里好好挖一挖。