矩阵与线性变换
第一次看到矩阵，它就像一张把数字排成方块的表格。所以大家都只想着去背，而这正是它一直让人糊涂的原因。矩阵不是表格，而是一个动作。准确地说，它是一次性移动平面上所有点的函数，是把空间拉伸、旋转、斜推的操作。这幅图一旦在脑中扎根，矩阵乘法为什么那样定义，后面要学的特征值到底在看什么，都会一下子变得容易。
先找找感觉。画面上铺着网格，用下方的四个滑块改变矩阵的四个数，整个网格就会一起弯曲、伸长。动的不是某一个点，而是整个平面。这就是变换的本质，一个矩阵就是“把空间这样改变”的命令。绿色箭头 î 和橙色箭头 ĵ 也随网格一起移动。重要的是，网格不会被随意揉皱。直线变换后仍是直线，平行线仍然平行，间距也保持均匀。在保持规整的同时改变空间，这就是矩阵变换。随意拖动滑块之后，按“重置”按钮就能回到什么都不改变的状态。
那么，这样看起来复杂的变换，怎么用几个数就全部写下来呢？秘密出奇地简单：只需追踪两支箭头。只要知道向右一格的 î 和向上一格的 ĵ 在变换后去了哪里，就完事了。而且它们的落点正好就是矩阵的两列：第一列是 î 去的地方，第二列是 ĵ 去的地方。按下“看落位”，两支箭头离开以虚线留下的原位置，移到新位置，尖端各自标出落点坐标。把这些坐标和下方的矩阵对照，绿色坐标与第一列相同，橙色坐标与第二列相同。原本看似毫无意义的四个数，其实是“把 î 送到这里、把 ĵ 送到那里”的坐标。用 î、ĵ 按钮可以只高亮其中一支箭头。
只知道 î 和 ĵ 有什么用？这里正是关键。其他的点不需要单独知道。平面上的任何向量，归根结底都是几个 î 加几个 ĵ。例如点 (3, 2) 就是 3 个 î 加 2 个 ĵ。变换会原样保持这个配比，所以变换后的 (3, 2)，就是 î 的去处取 3 个、ĵ 的去处取 2 个相加得到的位置。拖动图中的蓝点，在变换后的网格上，绿色虚线排出新的 î，橙色虚线接上新的 ĵ，到达那个点，下方的式子写出所用的个数。这就是上一讲看到的线性。只要定下 î 和 ĵ 的去向，其余无穷多个点就会自动跟上，正因如此，矩阵的四个数就能操控整个空间。
做了一次变换之后还想再做另一个变换，比如先旋转、再斜推，把两个矩阵相乘就行。也就是说，矩阵乘法的意思就是接连做变换。学校里教的那条行乘列的古怪规则，计算的正是依次施加变换的结果。所以顺序很重要。图中处理的是先旋转再剪切、以及先剪切再旋转两种情况；按下“交换顺序”，网格的形状会改变，下方两个框里的乘积矩阵也彼此不同。顺序一换，结果就变。AB 和 BA 不同，并不是要背的规则，而是理所当然的事。
现在来看几种代表性的变换：旋转、放大、剪切（斜推）、反射。逐个按下按钮，网格就按相应的动作变化，每个动作都对应一个矩阵。我们熟悉的那些改变空间的动作，归根结底都是矩阵。最后按下“压扁”按钮，空间被挤成一条直线。这是个特殊情况，下方显示的行列式这个值此时变为 0。这是变换把空间压扁了的信号。被压扁到底意味着什么，就在紧接着的下一讲行列式中细细探究。