内积赋予空间几何
什么是长度，什么是角度，什么是直角？它们太理所当然，似乎根本不需要定义。可在向量空间里，这三样并不是白白送你的。一个装置，内积 <u,v>，一口气把这三样都造了出来。长度是一个向量与自身内积的平方根，角度是两个向量的内积除以它们的长度，而直角就是内积为0的地方。你前一讲遇到的点积，只是这内积的一个例子。改变内积，比如给每条轴不同的权重，几何本身就在同一批向量上弯曲了。更令人吃惊的是：函数也是向量。两个函数的内积是它们乘积的积分，傅里叶变换和核函数正是从这里开始。
把绿色向量 u 横向固定，拖动蓝色向量 v。屏幕下方有四个数字跟着一起变：内积 <u,v>、u 的长度、v 的长度，以及两者之间的角度。把 v 朝 u 的方向拉长，内积就变大；竖成直角，内积为0；反向转过去，它就变负。要点在于：一个内积把长度和角度装进了同一个盒子。长度、角度、是否垂直，全都从内积这一个量里解开出来。从下一块起，我们把这三样一个个拆开来看。
先说长度。把一个向量与它自己做内积得到 <v,v>，这正好是长度的平方。所以长度 ||v|| 就是 <v,v> 的平方根。拖动 v，到箭头尖端的半径就是它的长度，而虚线画的单位圆是长度恰好为1的那些向量的集合。把 v 放到单位圆上，<v,v> 正好读作1。你根本不必另行定义长度，只要有内积，长度就自己冒出来了。一个向量与自身的内积就是它长度的平方，这一句话就是一切范数的起点。
现在改变内积本身。加权内积是 <u,v>w = w1·u1·v1 + w2·u2·v2，给两条轴不同的权重。滑动 w1 和 w2。长度为1的向量的集合，也就是单位球，不再是圆而成了椭圆。它的半轴长是 1/sqrt(w1) 和 1/sqrt(w2)，所以你给某条轴加的权越大，那个方向就越短，因为沿它的距离现在被定得更贵。向量没变，可一旦"什么算长"的标准变了，整个几何就弯了。当你处理各轴单位不同的数据(比如身高与体重)时，你其实一直在用加权内积。
直角到头来也由内积定义。两个向量正交，无非就是 <u,v>w = 0。这里把权重固定(一条轴更重)，只用滑块转动 v 的角度。加权内积穿过0的那一刻，v 亮了起来。可仔细看：那一刻在屏幕上 u 和 v 看起来并不成90度。权重把空间弄弯了，于是加权世界里的直角，和你眼睛看到的直角对不上。直角不是肉眼可见的90度，而是内积为0这个事实。你用哪个内积，决定了什么算正交。
最后，是最大的一跃：函数也是向量。两个函数的内积，是把它们在一段区间上相乘再积分得到的值，也就是 <f,g> = ∫ f·g。这里把 f = sin(x) 固定，用滑块改变 g = sin(kx) 的整数频率 k。乘积 f·g 的面积被涂上阴影，当 k 为1时，留下清晰的正面积。可一旦 k 是1以外的整数，正的部分和负的部分恰好抵消，积分就是0，也就是正交。不同频率的正弦波，在函数空间里彼此成直角。把信号按频率拆开的傅里叶变换，正立在这个正交性之上。