相平面 不动点

先理解相平面这个舞台。横轴是位置 x，纵轴是速度 x'。某一时刻系统的状态，完全由这个平面上的一个点，也就是状态点决定。按下“播放”，做阻尼振动的系统的状态点以金色移动，留下走过的轨迹。重物被推到一侧时 (x 大，速度 0)，点在横轴的右侧；重物飞快地穿过中间返回时 (x 为 0，速度大)，点到达纵轴的下方，因为它正向左运动，速度为负。位置和速度就这样交替转换，点绕着原点顺时针转动。由于有阻尼，能量不断流失，点画出一条向内卷的螺线，最终被吸进原点，也就是静止状态。点到达原点后，会回到起始位置重新开始画。在时间轴图像上起伏的曲线，在这里变成了一条向内卷的干净螺线。抹掉时间，换来的是一眼看清运动的整体形状。

状态点往哪里走，由系统的方程决定。回想一下前面见过的方向场：那里给每一点一个斜率。相平面更进一步，给每一点一支完整的箭头，也就是状态从那里朝哪个方向、以多快的速度移动。联立方程 x'=y, y'=−x−0.4y 让整个平面布满了箭头。这就是向量场。把起点拖到任何地方，状态点都会顺着那里的箭头走，到了下一点又顺着那里的箭头走。这样忠实地一支接一支踩着箭头走，就画出一条轨迹：深金色是将要走的路，浅金色是走过的路。就像落进河里的树叶随水流漂走一样，状态点也沿着向量场流动。前面见过的 1 维流动，在这里长成了 2 维流动。

在整个向量场里，只有一类点特殊：箭头长度为 0 的点，即不动点。在那里状态哪里也不去，一旦放上去就永远不变，是平衡状态。可是同样是不动点，性格却完全不同。图中是单摆的相图，单摆笔直下垂的位置就是不动点。放在那里它就静止不动，轻轻碰一下，它只会绕着转，不离开那一带。这样的点叫作中心，属于稳定的不动点。单摆倒立的位置也是不动点。完美立住时理论上静止不动，可只要推一根头发丝那么一点，它就哗地倒下、远远跑开。这样的点叫作鞍点，是不稳定的不动点。用两个按钮依次点亮两个不动点，经过它们周围的金色轨迹也会一起画出来。系统的命运，取决于起点落在哪个不动点的势力范围里，以及那个不动点是什么类型。

不动点附近的流动形状，可以干净地分成几类。逐个按下标签，就能像翻图鉴一样看。在稳定结点，所有箭头都直接被吸进不动点，所以轻轻碰一下，它也会毫无怨言地回到原位。稳定螺旋是一边打转一边进去：会回来，但一路晃荡着回来，前几讲见过的阻尼振动正是这样。鞍点从一个方向把东西吸进来，却从另一个方向把它们甩出去，所以几乎所有起点最终都会远远跑开，是不稳定的点。中心既不吸进也不推出，永远绕着同一条轨道转，是没有阻尼的振动。“不稳定”标签里的螺旋反向打转，越来越往外甩。这几类就是 2 维线性系统所能表现出的全部行为。复杂的系统在不动点附近，也会像这本图鉴里的某一类那样行动。那么，一个系统属于哪一类，由什么决定？

终于，一切汇聚到一处。决定不动点类型的，是系统在那一点线性化后的矩阵，即雅可比矩阵的特征值。在线性代数里，特征值说明变换朝哪个方向拉伸多少。在这里，它们决定状态点在不动点附近朝哪个方向、以多快的速度被推开或被吸入。特征值是 2 次式 λ²−τλ+Δ=0 的根，τ 是矩阵的迹，Δ 是行列式。在上方的 (τ, Δ) 平面里拖动点，下方的相图会整个改变，同时写出特征值和类型名称。虚线抛物线是特征值从实数变为复数的边界。两个特征值都是负实数时 (Δ>0, τ<0, 判别式为正)，所有方向都在收缩，是稳定结点。特征值是复数时 (判别式为负)，复数那条线上见过的旋转加入进来，形成螺旋：实部为负是稳定螺旋，为正是不稳定螺旋。实部为 0 的纯虚特征值给出中心，也就是永远持续的振动。特征值符号相反时 (Δ<0)，是一边吸入一边甩出的鞍点。前一讲的特征根其实正是这个雅可比矩阵的特征值（一个 2 阶方程本身就是这样的 2 维系统），而复指数就是螺旋的真面目。线性代数的特征值、复数的旋转、微分方程的稳定性，全都在这一幅图里相遇。