点积衡量对齐程度
在搜索框里打个词，引擎并不逐字比较文本。它把每段文本变成向量，再看两个向量在多大程度上指向同一方向。把这个"有多同向"压成一个数的工具，就是点积：a·b = |a||b|cos(theta)，两个长度乘以夹角的余弦。把长度剥掉，只剩 cos(theta)，这就是余弦相似度。同向就相似，成直角就无关，反向就相反。搜索、推荐、词嵌入，全都跑在这一行上。
把绿色箭头 a 固定，用两个手柄来摆弄蓝色箭头 b。一个滑块转动 b 的角度，另一个拉伸 b 的长度。看屏幕上的 a·b 值同时对两个手柄作出反应：把 b 拉长，值整体放大（长度效应）；把 b 旋转，同向时为正、直角时为零、反向时为负（对齐效应）。颜色随符号在绿、淡、红之间切换。b 落到 a 上的脚（投影）也跟着滑动。用手感受一下：一个点积同时承载长度与对齐两件事。
点积还能换个角度看。把 a 放在 +x 轴上、长度为 2，只用滑块旋转 b 的角度。画在轴上的金色线段，就是 b 笔直落到 a 上的影子，也就是投影。于是 a·b 恰好等于 |a| 乘以那段投影长度。把 b 朝 a 倒下，影子变长，点积就大；把 b 立起，影子变短，点积就小。成直角时影子为零，点积也为零。点积归根结底，就是把"一个向量沿另一个方向伸出多远"用长度量出来，再乘以 |a|。
只把点积的符号抽出来，规则简单得很。把 a 放在 +x 轴上，用滑块把 b 的角度 theta 从 0 度扫到 360 度。平面被涂成两块。和 a 同侧的半平面（theta 在 90 度以内）泛绿，那里点积为正。恰在 90 度和 270 度的直角处，点积为零。对侧的半平面（90 度到 270 度之间）泛红，点积为负。转动 b 时，屏幕上的字在正、零、负之间切换，数值也一并显示。一个符号一眼定下"同侧、无关、还是相反"。
现在把长度彻底剥掉：cos(theta) = a·b / (|a||b|)。这个值永远落在 -1 和 +1 之间。固定 a，用两个滑块改变 b 的角度和长度。有个关键画面：只把 b 的长度拉长或缩短，cos(theta) 纹丝不动——下方从 -1 到 +1 的标尺上，指针停在原处。换成转动角度，指针就一路滑过去。余弦相似度无视大小，只看方向。所以搜索引擎和嵌入比较两段文本，靠的是它们指向的方向，不管文本是长是短。
最后，亲手抓住点积恰好为零的那一刻。a 固定不动；用手拖动蓝色箭头 b，让它在平面上游走。屏幕上实时显示 a·b 的值。当 b 经过和 a 成直角的位置时，值越过零，箭头发光，"正交"二字浮现。点积为零，意味着两个方向完全垂直，也就是彼此无关且独立。正是这一性质让坐标轴变得干净：因为 x 轴和 y 轴正交，沿一个轴移动不会扰动另一个轴的值。一切干净的基，都源自这个"点积为零"。