大定理把内部和边界系在一起
散度量的是一个点上漏出多少，旋度量的是一个点上转多少。可若你想看的不是一个点，而是整片区域呢？把区域内每一小份散度都加起来，就恰好等于越过边界跑出去的总量。把内部所有旋度加起来，就恰好等于沿边界转一圈的环量。这就是高斯定理和斯托克斯定理：一个承诺——内部发生的一切之和，只测边界这一条线就能读出。难算的体积分，化成了易算的环路积分，是工程计算的一条捷径。
先把高斯定理画成图。背景是散度的热力图：金色处流向外漏（散度为正），蓝色处被往里吸（散度为负）。圆周上排着朝外的箭头：金色是往外走的流，蓝色是往里进的流。拖动半径滑块，把圆放大缩小。两个数会一起跟着变。内部是圆内散度的总和，边界是穿过边缘跑出去的总通量。无论半径多大，两者都几乎一模一样。这就是高斯定理。
现在把图去掉，只把两个数并排放。左边是 ∫∫ ∇·F dA，把圆内散度一份不漏加起来的面积分。右边是 ∮ F·n ds，沿圆边一圈收集向外漏出通量的环路积分。拖动半径滑块。两个值总是手拉手一起动，几乎完全吻合。中间的等号替你确认。一边得把整片区域扫一遍，另一边只测一条边界线。这正是定理成为捷径的原因。
这回是斯托克斯定理，场也换了。现在场里有一个在中心逆时针旋转的旋涡，背景是旋度的热力图：金色处逆时针转（旋度为正），中心最强。圆周上的箭头沿边缘走切线方向。拖动半径滑块。内部是圆内旋度的总和，边界是绕边缘转一圈的环量。把圆放大，两个值一起明显增大，并始终指向同一个数。内部之和等于边界，看得见。
再次把图去掉，只看两个数。左边是 ∫∫ ∇×F dA，把圆内旋度一份不漏加起来的面积分。右边是 ∮ F·dr，沿圆边一圈收集场拖着转的环量的环路积分。拖动半径滑块。两个值一起增大，几乎完全吻合，中间的等号替你确认。正如散度定理把区域内的散度换成边界的通量，斯托克斯定理把面上的旋度换成边界的环量。把内部旋转的旋度全加起来，就等于边界转动的量。
最后，把两条定理叠到同一张图上。一个圆，一个切换钮。按高斯，边缘上出现朝外（法向）的箭头，标签写着"漏出的通量 = 内部散度之和"。按斯托克斯，同一条边换成切向箭头，标签变成"环量 = 内部旋度之和"。一个切换钮，就把 ∇· 和 ∇×、法向和切向整个对调。两者形状是双胞胎：都说"内部累加的微分 = 边界测得的积分"。区别只在把哪个微分放进内部、把箭头怎样立在边界上。这就是撑起向量微积分的那一句话。