格林 斯托克斯 高斯定理
散度量一个点净流出多少，旋度量一个点转多少。有时要看的不是一个点，而是整片区域。把区域里的小散度全部加起来，这个和就等于从边界流出去的总量。把里面的旋度全部加起来，这个和就等于沿边界转的环量。前一个约定是高斯定理，后一个约定是斯托克斯定理。里面发生的事的总和，只测边界一条线就能知道。这是把宽的面积分换成短的环路积分的计算捷径。每张图里的圆盘是区域，圆周上的箭头是沿边界做的测量。
用一个圆来看高斯定理。背景是散度的色图，金色是往外漏的地方，蓝色是被吸进去的地方。圆周上立着向外的箭头，金色是流出，蓝色是流入。用半径滑块把圆放大或缩小，两个数字一起跟着走。内部是圆内散度全部相加的值，边界是穿过圆周流出去的总通量。半径怎么变，两者都几乎相等。这就是高斯定理。
现在把图拿开，只留下两个数并排。左边是 ∫∫ ∇·F dA，把圆内的散度一个不漏加起来的面积分。右边是 ∮ F·n ds，在圆周上按向外方向把漏出的通量转一圈收集起来的环路积分。移动半径滑块，两个值手拉手一起走，几乎相等，中间的吻合标记确认这一点。一边必须把圆内全部扫过，另一边只要边界一条线。定理成为捷径的理由就在这里。
这一次是斯托克斯定理，场也换了。原点附近有一个逆时针转的旋涡，背景是旋度的色图。金色是逆时针转的地方，中心最强，圆上立着沿圆周转的切向箭头。移动半径滑块，内部是圆内旋度全部相加的值，边界是沿圆周转的环量。把圆放大，两个值一起变大，并指向同一个数。里面的和与边界的积分相等，两个数字把它显示出来。
再把图拿开，只看两个数。左边是 ∫∫ ∇×F dA，把圆内的旋度一个不漏加起来的面积分。右边是 ∮ F·dr，沿圆周把场拖着转的环量转一圈收集起来的环路积分。移动半径滑块，两个值一起变大，几乎相等，中间的吻合标记加以确认。如果说高斯定理把区域的散度换成了边界的通量，斯托克斯定理就把面上的旋度换成了边界的环量。把里面转的量全部加起来，就等于边界转的量。
最后把两个定理叠在同一个圆上。有一组按钮。按下高斯，圆周上出现向外的法向箭头，标签变成流出的通量等于里面的散度之和。按下斯托克斯，同一条圆周换成切向箭头，标签变成环量等于里面的旋度之和。一个控件把 ∇· 和 ∇× 对调，也把法向和切向对调。形状是一对，两者都是说里面加起来的微分等于在边界上测得的积分。差别只在于里面放哪一种微分，以及箭头在边界上怎样立着。这一句话撑起向量分析。