标量场 向量场
在天气预报地图上，点哪座城市都能读出那里的气温，风的箭头也在每个地点标着方向和强弱。像这样给空间里每一点都钉上一个值，就是场 (field)。钉上的值是一个数，就是像气温那样的标量场；是一支箭头，就是像风那样的向量场。工程中处理的温度和压力、速度和应力，无一例外都用场来描述。向量微积分正是处理这些场的语言，而这一讲是它的第一幕。
先看标量场。每一点都钉着一个数，画成颜色越暖、值越大的温度地图。拖动探针，无论放在哪里，下方都会立刻写出那一点的温度。在两个暖点附近值高，离它们越远值越低。这里重要的是，这个值本来就已经在那一点上了。探针并不创造新的值，只是读出原本就在那里的东西。空间每一点都毫无遗漏地铺着值，这就是场。
场有两种。钉在每一点上的是一个数，就是标量场；是一支箭头，就是向量场。按下“标量场”和“向量场”按钮，高度地图和风的地图会交替出现。标量那一边是高度，每一点只装着一样东西：有多高；向量那一边是风，每一点上的箭头表示风往哪里吹、吹得多猛。同一个空间，钉上去的信息种类不同。像高度、温度那样只有大小的，是标量；像速度、力那样还需要方向的，是向量。
这次凑近看看向量场。背景上每一点都铺着浅色箭头。拖动金色探针，只有那个位置的箭头会加粗显现，下方用数字写出水平和竖直分量。一点上的箭头同时装着朝哪个方向和有多强。方向由倾斜负责，强弱由长度负责，换个位置两者会一起变化。这个场是鞍形的，一个方向往里拉，另一个方向往外推，所以把探针挪来挪去，方向会变化很大。读向量场，就是在你关心的那一点上，把这支箭头是什么挑出来。
场说到底就是函数，是放进点 (x, y) 就得出一支箭头的规则。所以只要改变规则，空间里所有的箭头就会一下子重新排列。手柄有两个：外向流 s 把东西从原点推开或拉向原点，涡旋 r 让东西打转。只调大 s，就成了向四面八方涌出的源 (source)；把它调成负数，就翻转成把一切吸进去的汇 (sink)。只调大 r，就成了旋涡；两者混合，就出现向内卷或向外展开的螺旋。一行式子决定整个空间的箭头，这就是处理场的力量。
场真正有用的原因，是它决定了流动。往场里放一个粒子，粒子就朝它所在点的箭头所指的方向走一步。然后在新位置，再顺着那一点的箭头走一步。这样反复下去，就画出一条路径，这条路径叫作流线 (streamline)。把金色种子拖到不同地方，起点不同，走的路也随之分开；不过在这个场里，无论从哪里出发，都会向内卷，被吸进中心。随风飘的尘埃、河面上的树叶、磁场中铁屑排成的线，都顺着这样的场线。从下一讲开始，我们要测量场从一点到另一点是怎样变化的。