梯度不打转，旋度不外漏
走过三讲，你已握住两个算子。散度问"散不散"，旋度问"转不转"。可这两者之间，有两条永不破裂的约定。由梯度造出的场，无论你怎么扭，旋度都恰好为0（∇×(∇φ)=0）；由旋度造出的场，无论你怎么搅，散度都恰好为0（∇·(∇×A)=0）。梯度能爬却不会转，旋涡能转却不会漏。更惊人的是它的逆命题：世上任何一个场，都能拆成"纯粹的源那一块"加"纯粹的旋涡那一块"。这就是亥姆霍兹分解。它把一个场劈成两种性格，让你把流动从何处生出、何处只是打转，分开来看个清楚。
这里有一个标量隆起 φ，上面铺着梯度箭头（∇φ）。它们全都朝隆起的顶端指向上坡。用滑块把隆起的高度调大调小看看。箭头随之伸缩起伏，可旁边那张旋度色图，从头到尾只有一种中性色。无论你怎么晃，∇×(∇φ) 都纹丝不动停在0。梯度场只带着"上坡"这一种方向感，所以打转的分量根本无从产生。它能爬，却不会打转。
这次换到另一边。我们从流函数 ψ 造出一个旋涡场。横分量取 ∂ψ/∂y，纵分量取 −∂ψ/∂x，这样造出的箭头便沿着圈打转。用滑块把 ψ 的强度调大。旋涡时而猛烈、时而微弱地起伏，可旁边那张散度色图，又是一种中性色不变。∇·（旋涡）不离开0。用流函数塑成的场，进来多少就恰好出去多少，所以在任何一点都不漏不聚。它能转，却不会漏。（三维里的 ∇·(∇×A)=0，在二维中就这样现身。）
现在来看把两者相加的一般场 F。用切换在三种样貌间来回。先看整个场 F，箭头一边朝一侧涌起，一边同时打转，乍看分不清是源还是旋涡。再按"源那一块"，便只剩梯度部分（∇φ），露出从隆起向四面伸展的纯粹流动。按"旋涡那一块"，则只剩流函数部分，显出打圈的纹理。你把同一个 F 劈成了两种性格。任何复杂的场都能这样拆成"源那一块"加"旋涡那一块"，正是亥姆霍兹分解的核心。
把源那一块单独取出来。箭头是梯度部分（∇φ），背景颜色是它的散度。旋度为0，你前面已经见过。可它的散度并不为0。隆起内侧染上浓色，显示流动的源与汇全都聚在这里。拖动探针看看。无论放到哪一点，旋度读数都停在0附近（不打转），而散度读数则随位置清楚地分出正负。在一个场里，"流动诞生与消亡的部分"，全由这块源那一块承担。一点旋涡也没有。
这次只取出旋涡那一块。箭头是流函数部分，背景颜色是它的旋度。散度为0，你在第二块已经见过。可它的旋度并不为0。两个旋涡所在处染上浓色，场打转的部分全都聚在这里。拖动探针看看。无论放到哪一点，散度读数都停在0附近（不外漏），而旋度读数则随位置清楚地分出逆时针与顺时针。归根结底，一个场就是两块：源那一块握着全部散度，旋涡那一块握着全部旋度。散度与旋度，你在两讲里学到的两张脸，在这里合成一个场，又干净利落地重新分开。