向量恒等式
散度问的是漏不漏，旋度问的是转不转。可是这两者之间有两个绝不破的约定。由梯度做成的场，无论怎么拧，旋度都恰好是 0，式子是 ∇×(∇φ)=0。由旋度做成的场，无论怎么搅，散度都恰好是 0，式子是 ∇·(∇×A)=0。梯度可以爬坡，却不会打转。旋涡可以打转，却不会外漏。更惊人的是反过来。任何场都能拆成一块纯粹的源和一块纯粹的旋涡之和，这就是亥姆霍兹分解。它把一个场分成两种性格，让你分别看出哪里是流动的源头，哪里是打转的部分。 源从高度的坡度里出来，旋涡从绕圈的纹路里出来。两者叠在一个场上，这个约定也不变。
有一个标量的隆起 φ，上面铺着金色的梯度箭头。箭头都指向上坡，朝向隆起的顶。用滑块把隆起的高度调高调低，箭头就变长变短、来回摇，旁边的旋度色图却从头到尾是一种中性色。无论怎么摇，∇×(∇φ) 都不离开 0。梯度场只有上坡这一个方向感，打转的成分一开始就生不出来。它能爬，却不会转。 中性色的意思是不打转，隆起无论多高，那种颜色都原样留下。
现在看另一边。用流函数 ψ 做出旋涡场。横向分量是 ∂ψ/∂y，纵向分量是 −∂ψ/∂x，这样做出的蓝色箭头就沿着四周打转。用滑块加大 ψ 的强度，旋涡就变强变弱、来回摇，旁边的散度色图仍是那一种中性色。散度不离开 0。用流函数捏成的场，进来多少就正好出去多少，任何一点都不漏也不聚。它能转，却不会漏。3 维的 ∇·(∇×A)=0 在 2D 里就是这样出现的。 蓝色箭头无论多猛，漏出去的量也不增加，进来的仍旧出去。
现在看把两者加在一起的一般场。按钮可以在三种样子之间切换。先看整场，箭头一边涌起一边打转，一眼分不清是源还是旋涡。按下源那一块，只剩下梯度部分，从隆起向四面伸开的纯粹流动显出来，说明文字变成金色。按下旋涡那一块，只剩下流函数部分，打转的纹路显出来，说明文字变成蓝色。同一个场被分成了两种性格。任何复杂的场都能这样拆成源那一块加上旋涡那一块，这是亥姆霍兹分解的核心。 每次在按钮之间切换，同一组箭头只换性格，加在一起的两种纹路就分开显现。
只把源那一块拆开来看。箭头是金色的梯度部分，背景颜色是它的散度。旋度为 0 前面已经看过，散度却不是 0。隆起内部染成深色，表明流动的源和汇全都聚在这里。拖动探针，无论放在哪一点，旋度读数都停在 0 附近、不打转，散度读数却按位置清楚地分成正和负。一个场里流动诞生和消失的部分，整块由这块源承担。里面完全没有旋涡。 正是流动诞生的地方，负是流动消失的地方。两者都只住在这一块里面。
现在只拆开旋涡那一块。箭头是蓝色的流函数部分，背景颜色是它的旋度。散度为 0 前面已经看过，旋度却不是 0。两处旋涡染成深色，场在打转的部分全都聚在这里。拖动探针，无论放在哪一点，散度读数都停在 0 附近、不外漏，旋度读数按位置分成逆时针为金色、顺时针为蓝色。一个场终究是两块：源那一块承担全部散度，旋涡那一块承担全部旋度。散度和旋度这两张脸，在这里合成一个场，又重新分开。 金色和蓝色只是打转的方向不同，哪一边都没有外漏。