复变函数 映射
普通函数 y=f(x) 接收数轴上的一个数，返回一个数，所以可以画出图像。而复函数 w=f(z) 接收平面上的一个点，返回平面上的一个点。输入是 2 维，输出也是 2 维，普通的图像画不出来。于是换个角度：把函数看成用手揉捏整个输入平面，把它变成另一种形状。直的网格会弯，大小会变，里外会翻转。不过这种变形里藏着一条惊人的规则：可微的复函数无论怎样弯曲，在足够小的范围内都会保持角度不变。这叫作共形映射，正因如此，它成了一件强大的工具，可以把形状难解的问题变成形状简单的问题来求解。这一讲亲手改变平面，看看函数是怎样揉捏它的。
先看看“函数让平面变形”是什么意思。在输入平面上铺一张直的方格网，选一个函数，网格被移到的样子就用金色曲线画出来。选 z²，网格平滑地弯成曲线网格；选 1z，原点附近向外翻转；选 ez，网格像扇子一样展开。下方的按钮可以在三者之间切换。关键在于，直线变成了曲线。函数把平面弯曲了。不是像普通函数那样“放进 x、得出 y”，而是“把整个平面一下子变成另一种形状”，这才是看待复函数的眼光。
仔细看看变形中最基本的 z²。拖动蓝点 z，金色的 z² 就跟着移动。规则是前两讲里已经熟悉的。用极坐标形式写，若 z = r∠θ，则 z² = r²∠2θ。角度变成 2 倍，大小变成平方。原点旁的蓝色圆弧和金色圆弧表示两个角度，下方两行写出它们的值。θ 放在 30 度，z² 就在 60 度；θ 放在 90 度，z² 就在 180 度。它之所以让网格弯曲，是因为每个点的角度都张开成 2 倍，直线像扇子一样展开而弯曲。上一讲说过，把 eiθ 乘两次，角度就加两次。z² 就是 z 与自身相乘，所以角度变成 θ+θ=2θ 理所当然。映射说到底，就是把乘法一下子施加到整个平面上。
现在来看映射真正的宝石：共形性。前面说 z² 会让网格弯曲，可是看看经过 z0 的横线和竖线被移到的样子：两者都弯成了曲线，相交的角却仍然恰好是 90 度。两条浅色直线是输入，粗的绿色和橙色曲线是它们被移到的样子，下方并排写出输入和输出的交角。把 z0 拖到任何地方，输入中以直角相交的两条线，变形后依然以直角相交。这就是共形性。无论函数怎样弯曲、拉伸平面，只要把某一点附近放得足够大来看，那里发生的只有旋转和缩放。正如“复数相乘就是旋转”一讲所见，旋转和缩放不改变角度，所以角度得以保持。只有一个地方例外，就是原点，因为 z² 的导数 2z 在那里为 0。把点移近原点，就会出现这条警告。除了这个例外，可微的复函数在任何地方都保持角度。
来看另一种变形：1z。拖动蓝点 z，金色的 1z 跟着移动，动法却有点特别。用极坐标形式看，1z 把大小从 r 翻成 1r，把角度从 θ 变成 −θ。把大小翻过来，这是关键。在虚线画出的单位圆（半径 1）里面的点跑到外面，外面的点跑到里面。紧贴原点的点飞向遥远的无穷远处，非常远的点则聚到原点附近。单位圆就像一面把里外互换的镜子。角度变成 −θ，是关于实轴的镜像反射。这种里外翻转的映射也是共形的，所以直角依然是直角。在电场或流动问题中，当无穷远处很难处理时，就用 1z 把它翻过来，变成原点附近的有限问题来解。
最后，看看工程师为什么如此看重它。直接求水绕圆柱流动的样子很麻烦。而没有任何障碍物的均匀流，也就是平行的直线流线，却非常简单。共形映射的魔力就在于把这两者连起来。用“均匀流”和“绕圆柱的流动”两个按钮切换两幅图，就会看到，w=z+1z 这一个映射，把均匀流的直流线准确地搬成绕着蓝色圆柱流动的金色流线。所以实际中，只要在简单的一侧求出答案，再用映射搬到困难的形状上就完成了。由于共形性保持角度，流线与边界相交的角度这类物理性质原样保留，搬过去的答案也就真的正确。飞机机翼周围的气流、电极周围的电场、大坝下方的水流，都是用这种方法解出来的。这就是复数不只是抽象概念、而是工程实战工具的原因。