复函数把平面变形成平面
普通函数 y=f(x) 接收数轴上的一个数，返回一个数，所以能画成图像。可复函数 w=f(z) 接收平面上的一个点，返回平面上的一个点。输入是二维，输出也是二维，画不进普通的图像里。换个看法：函数把整个输入平面用手揉捏成另一个形状。笔直的网格弯了，角度变了，里外翻了。可这变形里藏着一条惊人的规则。可微的复函数，无论把东西弯成什么样，在局部都把角度原封保留——它们和原来一模一样。这叫共形映射，正因如此，复函数成了一件强大的工具：把一个形状难办的问题，换成一个形状好办的，在那边解。这一讲里，你会亲手把平面变形，看看函数是怎么揉它的。
先看看"函数把平面变形"到底是什么意思。我在输入平面上铺一张笔直的方格网。选一个函数，你就会看到这张网被搬到了哪儿——它变形后的样子用粗线画出来。选 z²，网就平滑地弯成曲线网；选 1z，原点附近被翻到外面去；选 ez，网像扇子一样展开。关键是：原本笔直的直线变成了曲线。函数把平面弯了。不是普通函数那样"输入 x、输出 y"，而是"把整个平面整块地变形成另一个形状"——这就是看复函数的眼光。
在所有变形里，仔细看看最基本的 z²。拖动点 z，z² 就跟着动。规则你的手在前两讲已经熟了。用极形式，若 z = r∠θ，则 z² = r²∠2θ。角度翻倍，大小平方。把 θ 放到 30 度，z² 就在 60 度；把 θ 放到 90 度，z² 就在 180 度。这为什么会把网格弯弯？因为每个点的角度都张成两倍，于是一条直线像扇子一样展开、弯曲。第 2 讲说过，把 eiθ 和它自己相乘，角就加了两遍。z² 正是 z 乘以它自己，所以角变成 θ+θ=2θ 理所当然。映射说到底，就是把乘法一次性作用到整个平面上。
现在来看映射真正的宝石——共形性。我们说 z² 把网格弯了。可你看过 z0 处一条横线和一条竖线变形后的样子，两条都弯成了曲线，相交的角却仍旧正好是 90 度。把 z0 拖到任意地方。在输入里以直角相交的两条线，变形之后仍以直角相交。这就是共形性。无论函数把平面弯拉成什么样，只要在某一点附近放大到足够近，发生的就只有旋转和放大。旋转和放大不改变角度（你在第 1 讲见过）。所以角被保留了。只在一处会失效——原点——因为 z² 的导数 2z 在那里为零。除去这一个例外，可微的复函数处处守住角。
来看另一种变形，1z。拖动点 z，1z 跟着动，可它的动法有点特别。用极形式看，1z 把大小从 r 翻成 1r，把角度从 θ 变成 −θ。翻转大小是关键。原本在单位圆（半径 1）里的点跑到外面，外面的点跑进里面。紧贴原点的点飞向无穷远，极远的点聚到原点附近。单位圆就像一面把里外对调的镜子。角度变成 −θ，是关于实轴的镜像。这种把里外翻过来的映射同样是共形的，所以直角仍旧被保留为直角。在电场或流动问题里，当"无穷远处"难以处理时，就用 1z 把它翻成原点附近一个有限的问题来解。
最后，看看工程师为什么这么珍视它。要直接算出水怎么绕着圆柱流，很麻烦。可一个毫无障碍的均匀流——就是一条条平行的笔直流线——简单得很。共形映射的魔力，就在于把这两者连起来。用切换在两幅图之间换一换。一个映射 w=z+1z，就把简单的均匀流，精确地搬成了难办的绕圆柱流。所以实际做法是：在简单的一侧求出答案，再用映射搬到难的形状上，就完事了。因为共形性保留角度，像流线与边界相交的角度这样的物理性质会原样保留，所以答案是真正正确的。机翼周围的气流、电极周围的电场、大坝下方的水流，全都用这个办法解。这就是为什么复数不只是抽象，而是工程里实打实的工具。