保守场 是什么
从一个点走到另一个点，场做的功不论走哪条路都一样，那样的场就叫保守场。保守场下面铺着看不见的高度地形，也就是势 φ，场是那片地形的梯度 F=∇φ。所以功只是起点和终点的高度差，路无关紧要。记号是旋度。保守场的旋度处处为 0，绕闭合环走一圈，总和恰好是 0。反过来，像旋涡那样旋度不是 0，那样的势根本不存在。同一件事实露出四张脸。旋度 0、势存在、路无关、闭合环的和为 0。四张脸其实是一个身体。重力和静电就是这张脸，不必沿每条路重新计算功的理由就在这里。
判断是不是保守场，最快的试验是旋度。用切换在两个场之间来回，差别马上显出来。在保守场 F=∇φ 上拖动探针，无论放在哪里，旋度 (∇×F)z 都贴在 0 上，点用绿色表示通过。旋度为 0，意思是没有让人打转的扭转，那就是下面铺着势的信号。换成旋涡 [−y, x]，无论拖到哪里，旋度都冻在常数 2，点用橙色表示失败。只看一个点就能判定。只要有一处旋度不是 0，这个场就不是保守场。绿色和橙色标出通过和失败，旋度的数字用金色写出。
旋度为 0，就能把看不见的势 φ 整块找回来，箭头就是证据。保守场 F=∇φ 的箭头都指向颜色更亮的高处，也就是 φ 的上坡。拖动金色的点，那个位置的高度 φ 就以数字出现。这个值是从原点出发，沿着场积分，一步一步垒起来的高度。无论沿哪条路积分，值都相同，所以点放在哪里，φ 都定成一个数。因此只给了场，也能把铺在下面的地形 φ 一点一点还原。点旁边写着此处 F = ∇φ，表示箭头就是那一处的上坡。
现在用两条路直接看路无关。从 A 到 B 铺着两条路，一条是径直走的金色直线段，一条是向上大绕的蓝色绕行弧。按按钮一次点亮一条路，沿每条路做的功就以数字出现。因为是保守场，两个值相同，而且都恰好等于 φ(B) − φ(A)。端点的高度差一个数就把答案定完。如果是旋涡，两条路的值会分开，可是这里无论把路扭成什么样，起点和终点相同，答案就相同。这是保守场的核心。金色直线和蓝色绕行给出同一个数，就是图所显示的全部。
为什么两个值总是落在一起？因为线积分基本定理，也就是梯度定理。把端点 A 固定，拖动端点 B，就画出从 A 到 B 的金色的路。沿这条路的线积分 ∫C F·dr 和高度差 φ(B) − φ(A) 并排出现。无论把 B 拖到哪里，两个值总是一致。写成式子是 ∫C ∇φ·dr = φ(B) − φ(A)。路上垒起的小步，最后整齐地折成起点和终点的高度差。普通的积分必须顺着路上的每一个点走，保守场只要知道两个端点就结束。绿色的字在旁边写着两个值永远相等。
最后钉死一件事：不是每个场都有势。旋涡 F=[−y, x] 的旋度处处为 2。用滑块放大以原点为中心的环，周围的金色箭头都朝同一个方向转。绕一圈加起来的 ∮F·dr 以数字出现，在任何半径上都不是 0。准确地说它是 2πr²，环越大它越大。假如这个场有势 φ，按梯度定理，闭合环是出发=到达，∮ 必须是 0。∮ 不是 0 这一个事实，就证明这个旋涡根本没有势。它和保守场相反，这个结论用橙色的字写着。