保守场是从势流出的场
第5讲里你见过一个奇妙的事实：在某些场里，无论怎么走路径，所做的功都一样。这种场叫保守场。保守场藏着一个秘密：底下铺着一片看不见的高度地形，也就是势 φ，而场就是那片地形的梯度（F=∇φ）。所以功只是起点与终点高度之差，路径无关紧要。揭示这一点的标志，就是旋度。保守场处处旋度为0，绕任何闭环一圈，总和恰好为0。相反，若旋度不为0，比如旋涡，那样的势根本不存在。这一讲把同一个事实展示为四张面孔：旋度为0、存在势、路径无关、闭环为0。这四者其实是一体。
判断是不是保守场，最快的检验就是旋度。用切换键在两个场之间来回。把探针拖过保守场 F=∇φ，无论放在哪儿，旋度 (∇×F)z 都贴着0。点变绿，表示通过。旋度为0，意味着没有让东西打转的扭劲，这正是底下铺着势的信号。现在切到旋涡 [−y, x]。拖到哪儿，旋度都钉死在常数2，于是点变橙，表示失败。只看一个点就能定夺：只要有哪怕一处旋度不为0，这个场就不是保守场。
旋度为0时，你能把看不见的势 φ 整个还原回来。箭头就是证据。保守场 F=∇φ 的每支箭头都朝着颜色更亮、更高的一侧，也就是 φ 的上坡。拖动金点，那一处的高度 φ 就以数字显示。这个值，是你从原点出发、沿 F 积分、一步步累起来的高度。无论沿哪条路积分都给出同一个值（路径无关），所以点放在哪儿，φ 都定为一个数。于是即便只给出场 F，你也能把它底下铺的地形 φ 一点一点重建出来。这正是"F = ∇φ here"始终跟着点的缘故。
现在用两条路直接证明路径无关。从 A 到 B 已铺好两条路：一条径直走的直线段，一条向上大绕的绕行弧。按切换键，一次点亮一条路。沿每条路所做的功以数字显示。因为是保守场，两个值完全相同。不仅如此，两者都恰好等于 φ(B) − φ(A)。端点高度的一个差，就把整个答案定死了。若是第5讲的旋涡，两条路的值就会分开。而在这里，无论你把路弯成什么样，只要起点终点相同，答案就相同。这正是保守场的核心。
两个值为什么总是吻合？因为线积分基本定理，也就是梯度定理。把端点 A 固定，拖动端点 B。一条从 A 到 B 的路被画出来，沿它的线积分 ∫C F·dr 和高度差 φ(B) − φ(A) 并排显示。无论把 B 拖到哪儿，两值始终相等。写成式子就是 ∫C ∇φ·dr = φ(B) − φ(A)。你在路上累积的细碎步子，最终干净利落地折成了起点与终点高度之差。一般的积分要你逐点跟着整条路走，可在保守场里，只要知道两个端点就结束了。
最后，钉死这一点：并非每个场都有势。旋涡 F=[−y, x] 处处旋度为2。用滑块把以原点为中心的环放大。环边的金色箭头全朝同一方向打转。绕一圈累加的 ∮F·dr 以数字显示，而它对任何半径都不为0。准确说是 2πr²，所以环越大它越大。可是，倘若这个场有势 φ，按梯度定理，闭环起点等于终点，∮ 就必须为0。∮ 不为0这一个事实，便证明这个旋涡根本没有势。这与保守场恰好相反。