概率分布 是什么

先看值一个个离散的离散分布。一颗骰子从 1 到 6 各为 16，所以六根柱子并排、一样高。可是看两颗骰子之和，形状就大不相同了。和为 7 有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 六种，和为 2 只有 (1,1) 一种。所以 7 以 636 高高耸起，2 和 12 以 136 矮矮趴着，形成中间隆起的三角形。每根柱子的高度就是该值出现的概率，这叫作概率质量函数 PMF。用标签可以在两种情况之间切换，点按柱子，它的概率就以分数形式显示在柱子上方。关键在于，所有柱子的高度加起来恰好是 1，因为总会出现某个值。所谓分布，就是把总概率 1 怎样分给各个可能值的问题。

值是连续的会怎样？比如身高、体重、测量误差，结果毫无间断地连成一片。这时一根根地数柱子就没有意义了，因为恰好是 173.4825...cm 的概率实际上为 0。于是改为收集样本，按区间分组，画出直方图。在下方的轨道上增加样本数 N，变化就会显现。N 小时，蓝色柱子参差不齐；N 越大，偶然的起伏越被平均掉，柱子的轮廓越来越接近那条金色曲线。这条曲线就是概率密度函数。直方图是用有限样本做出的近似，而样本无限多时的理想形状就是密度曲线。所以，密度曲线就是值连续时的 PMF，是把柱子切得无限细再连起来的光滑版本。收集的数据越多，藏在背后的真实分布就越清晰。

从密度曲线上怎么读概率？这正是人们最容易糊涂的地方。曲线的高度不是概率，因为在连续情形下，单个点的概率为 0。概率要读成曲线下方的面积。X 落在 a 和 b 之间的概率，就是从 a 到 b 曲线下方的面积。拖动绿色和橙色两个边界，把中间的区间拉宽，涂色的面积就变大，下方写出的概率也变大。包含高峰所在的中间部分，同样的宽度面积也大；在平坦的尾部，宽度一样面积却小。所以中间的值更常出现。整条曲线下方的面积恰好是 1，就像上一讲整块板为 1 一样。归根结底，连续分布中的概率就是量面积，也就是积分。微积分里的积分在概率中就是这样用的。

分布按散布的形状分成不同种类，每种形状都有适合它的情境。用标签看三种代表性的分布。均匀分布的曲线是一个扁平的长方形，适用于规定区间内任何地方都同样可能的情形，比如计算机生成的随机数或舍入误差。指数分布开头最高，越往右下降得越快。它出现在短暂等待很常见、长时间等待很少见的情形，比如等到下一个事件的时间、零件发生故障前的时间、顾客到达的间隔。正态分布是那个著名的钟形，中间最高，左右对称地平滑下降。身高、考试分数、测量误差这类由许多小因素叠加而成的自然散布，大多是这种形状。每个标签下，图的下方都用一行字写出这种分布出现的情境。知道分布的形状，就能预先估计数据会怎样表现。

最后，还有一幅与密度配对的图：累积分布函数，简称 CDF。密度表示各个值附近聚集了多少概率，而这个函数表示取到不超过某个值的概率，也就是从最左端一直累积到该值的概率。看图就一清二楚：上方是金色的密度曲线，下方是蓝色的累积曲线。拖动手柄，上方会把到该位置为止的面积涂上颜色，下方则把这个面积值标成一个点。所以 CDF(x) 恰好就是密度曲线下方到该位置为止的面积。把手柄从最左端移到最右端，面积越扫越多，累积曲线从 0 出发，一次也不下降地升到 1。在密度峰值高的区间，累积曲线上升得陡；在尾部，上升得平缓。两条曲线是从不同角度看同一个分布的一对。密度是斜率，累积曲线是把这个斜率堆积起来的面积，微分与积分的关系在这里同样成立。