分布就是概率的散布
上一讲我们说概率就是面积。可只谈单个事件的概率，只是图的一半。真正想知道的是：哪些值出现得多频繁，概率是怎样散布在那些可能的值上的。这散布的整体形状，就是分布。两颗骰子之和，7 附近常出，2 或 12 罕见。这张"常与罕"的整体地图就是分布，画成柱状图就能看到一个峰。值是离散、彼此隔开的，每根柱就是一个概率；值是连续的，柱子就变得无限密集，化成一条光滑的曲线——密度。这里有决定性的一点。在连续分布里，曲线的高度不是概率，曲线下方的面积才是概率。E1 的"面积 = 概率"原样延续下来。这一讲里，你会把分布从柱子画到曲线、再画到面积，用眼睛记住概率是怎样散开的。
先看值彼此隔开的离散分布。一颗骰子，1 到 6 各 16，六根柱子一样高地并排。可看两颗骰子之和，形状就骤然不同。和为 7 的有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 六种，和为 2 的只有 (1,1) 一种。于是 7 高达 636，2 和 12 低到 136——一个中间鼓起的三角形。每根柱的高度，就是那个值出现的概率，这叫概率质量函数，PMF。点柱子看看每个值的概率。关键在于：把所有柱高加起来正好是 1，因为总会出某个值。分布，正是"如何把总概率 1 分配到各个可能的值上"。
值是连续的会怎样？像身高、体重、测量误差那样，结果毫无间断地连成一片时。这时一根根数柱子毫无意义，因为恰好是 173.4825...cm 的概率，实际上是 0。我们改为收集样本，按区间归并，画成直方图。用滑块增大样本数 N。N 小时，柱子参差不齐、粗糙；可 N 越大，偶然的起伏被平均掉、消失，柱子的轮廓越来越接近一条光滑的曲线。这条曲线就是概率密度函数。直方图是有限样本的近似，而把样本收集到无穷多时的理想形状，正是密度曲线。所以密度曲线就是"值连续时的 PMF"，是把柱子切到无限细再连起来的光滑版本。数据收得越多，藏在数据背后的真正分布就越显露出来。
怎么从密度曲线读出概率？这正是人们最容易糊涂的地方。曲线的高度不是概率——在连续情形里，单个点的概率是 0。概率要读成曲线下方的面积。"X 落在 a 与 b 之间的概率"，就是从 a 到 b 曲线下方的面积。拖动两个边界 a 与 b，把它们之间的区间拉宽。面积一大，那个概率也跟着大。包含峰下高高的中段，同样的宽度面积就大；尾部平坦处，宽度相同面积却小——所以中间的值出现得更频繁。整条曲线下方的面积恰好是 1，就像 E1 里整块板是 1 一样。归根结底，连续分布的概率就是量面积，也就是积分。微积分里的积分，在概率里就是这么用的。
分布按其散布的形状分门别类，每种形状都有对得上的情形。用标签看三种代表分布。均匀分布是一条平平的长方形曲线。当固定区间内处处等可能时它就合适——比如计算机生成的随机数，或舍入误差。指数分布起头最高，往右骤然下落。它出现在到下一次事件的等待时间、零件到故障的时间、顾客到达的间隔——这些"短等常见、长等罕见"的情形。正态分布就是那著名的钟形，中间最高、左右对称地平滑下落。身高、考试分数、测量误差——几乎一切由许多小因素相加而成的自然散布，都是这个形状。知道了分布的形状，就能提前估出数据会怎么表现。
最后，还有一幅与密度配对的图：累积分布函数，CDF。如果说密度展示的是"概率在每个值附近聚了多少"，那 CDF 展示的就是"取到小于或等于 x 的值的概率"——从最左端一路堆到 x 的累积概率。看图就明白。上面是密度曲线，下面是 CDF。拖动 x，上面会把到 x 的面积涂上，下面则把那个面积值标成一个点。也就是说，CDF(x) 正是密度曲线下方到 x 的面积。把 x 从最左移到最右，你会把面积越扫越多，于是 CDF 从 0 起步、升到 1，一次也不下降。在密度峰高的区间，CDF 升得陡；在尾部，升得缓。这两条曲线是一对，是同一个分布的两种看法：密度是斜率，CDF 是把那斜率累积成的面积。微分与积分的关系，在这儿也照样成立。