牛顿法沿切线追根
怎样求方程 f(x)=0 的根？大多数情况下没有干净的公式。牛顿的答案很优雅：在当前点对曲线作切线，把这条直线与 x 轴的交点当作下一个估计值。曲线再难，直线总能轻松找到自己的零点。写成公式就是 xn+1=xn - f(xn)/f'(xn)。如此反复，估计值便沿着滑向根。一旦奏效，快得吓人：每一步正确位数大约翻一倍，这叫二次收敛。但它并非万无一失。斜率平缓处，切线会把估计值甩得很远；曲线棘手时，它会在两点间打转，或永远发散。起点稍有不同，甚至会落到不同的根上。不过，把它和稳妥却缓慢的二分法并排，一眼就能看出牛顿的速度有多压倒性。
灰色曲线是 f(x)=x²-2，其根为 √2≈1.414。用滑块设定起点 x0，再按一步。在当前点会画出金色切线，它与 x 轴的交点（小圆圈）就是下一个估计值。每按一次，点便沿着滑向根，下方的 f(x) 趋于 0。诀窍是去追易算直线的零点，而非曲线本身。用重置可从头再看一遍。
把同一方程的误差看成对数柱。每根柱是一步后的 |xn - √2|。对数刻度下越短越精确，触底就近乎完美。移动 x0 滑块。无论从哪里开始，柱都在几步内悬崖般跌落，因为每一步误差几乎被平方。误差 0.1 不是变成 0.01，而是按它自身平方的速度缩小。读数中正确位数每步翻倍，这就是二次收敛。
快不等于总是安全。试着选这三种失败。飞越发生在 x0 接近 0、f'(x)≈0 时：切线几乎水平，把估计值甩出屏幕。循环：从 0 开始解 f=x³-2x+2，它会在 0 和 1 之间永远往返，永远到不了根。发散：在远处变平的曲线上（如 arctan），步子越来越大、越走越远。看看切线箭头如何偏离。这就是为什么牛顿法需要好的起点和安全网。
现在是 f=x³-x，有 -1、0、+1 三个根。拖动 x0，颜色会告诉你牛顿落向哪个根：绿色是 -1，金色是 0，蓝色是 +1，灰色是发散。整条色带是一幅给每个起点命运着色的地图。中间附近干净地奔向 0，但在 ±1/√5 附近，颜色像头发般细密纠缠。在那里，起点稍稍一动，所到的根就变了。同一条简单规则竟刻出如此精细的边界，令人惊叹。
最后比比速度。在 [1,2] 上解 f=x²-2，一个一步按钮同时推进牛顿（金，x0=2）和二分法（蓝，区间 [1,2]）。二分法每次选符号变号的那一半，把区间减半。它安全，但每步只增加约 0.3 位，很慢。牛顿在同样的步数里误差骤降。对比读数里的两个误差。三四步内，牛顿就把二分法远远甩开。安全靠二分法，速度靠牛顿；实战中两者并用。