解方程组就是把变换倒着走
解方程组，学校里你都是机械地做的吧，加减消元、代入，摆两个式子把 x 和 y 消掉。可你大概从来没搞清楚它到底在干什么。其实方程组问的是这么个问题："给某个输入套上变换 A，结果出来个 b。原来的输入是什么？" 也就是说，你在把变换倒着放。第5讲说矩阵是变换，第6讲说这个变换可能把空间压扁。这两件事在这儿合到了一起。方程组什么时候有解、什么时候没解，其实全是那幅画。
先把 Ax = b 这个式子当成一幅画来看。A 是变换，x 是我们不知道的输入，b 是结果。给平面套上 A，每个点都跑到某个地方去了。其中正好落在 b 这个位置的点，就是我们要找的 x。拖动一个候选点，让它过一遍 A。当套上 A 的结果正好压在 b 上，那就是答案。所谓解方程组，说到底就是"倒着去找那个落到 b 上的输入"。
不过呢，总不能每次都靠瞎猜候选点。有更聪明的办法。既然 A 把空间掰弯了，那就一定有个变换能把它正好掰回来。那就是逆矩阵 A⁻¹。你看：套上 A，网格扭了，再套上 A⁻¹，网格就严丝合缝地回到了原样。所以答案就是 x = A⁻¹b。把 b 过一遍倒着转的变换，落到的就是起点 x。解方程组的那个公式，原来一直就是个"倒带按钮"。
可答案总是只有一个吗？只要变换没把空间压扁，也就是第6讲里那个行列式不是0，那就是的。当变换把点均匀铺开的时候，对每一个结果 b，落到它上面的输入正好只有一个。把 b 挪来挪去看看。每挪一下，那个唯一的 x 都跟着走。能倒回去的变换，答案永远正好一个。这就是"行列式不是0就能干净地解出来"的真正意思。
现在把行列式弄成0。就像第6讲里看到的，平面被压成了一条线。这时候，怪事发生了。结果 b 要是不在那条线上呢？根本没有输入会落到那儿，无解。反过来，b 要是在那条线上呢？一大堆输入都被压到了那一个点上，于是有无穷多个解。把 b 在线上挪进挪出试试。要么没有，要么太多。第6讲里"没有逆矩阵"那句吓人的话，在方程组里就原样变成了"得不出干净的答案"。
最后，跟你在学校学的那幅画连起来。把方程组的两个式子画成图，就是两条直线，答案就是两条直线相交的点。这个"两条直线相交"的画面，和刚才看的"把变换倒着走"的画面，是同一回事。那行列式为0的时候呢？两条直线平行、永不相交（无解），或者干脆是同一条线、处处相交（无穷多解）。被压扁的变换，原来就是平行的直线。看着这两幅画其实是一体的。