坐标就是观察的视角
指着同一栋楼，有人说"三楼红门"，有人说"正门往左两扇"。指的地方一样，说出的数字却不同。向量也是如此。扎在空间里的箭头本身只有一个，可读出它位置的坐标，取决于我们选的尺子，也就是基。换一组基，箭头纹丝不动，变的只是数字。而一组选得好的基，能把看似纠缠的变换一瞬间变简单。AI 处理数据的秘密也在这里：所谓特征，归根结底就是在我们挑选的基下读出的坐标。
蓝色箭头 P 钉死在屏幕的同一处。用按钮在标准基和一组斜基之间切换尺子。在标准基下格子是方正的，P 读作 (2.0, 1.0)。切到斜基，格子沿绿色 b1 和橙色 b2 倾斜，可 P 这支箭头一毫米都没动。变的只是读出的数字。这时 P 被写成几个 b1 加几个 b2 的和。箭头其实是一件东西，安坐原地，不管谁怎么称呼它。
这次你亲手拖动蓝色向量 v。拖动时，两组数字一起变。上面是标准坐标 (vx, vy)，下面是在斜基下读出的 (α, β)。同一支箭头，被同时译成两种语言。顺着斜格线看，你能直接看出：α 是沿 b1 走了几格，β 是沿 b2 走了几格。当 v 恰好与 b1 对齐，β 趋近于 0；与 b2 对齐，α 趋近于 0。所谓坐标，不过是用那组基的眼睛量出箭头的结果。
可以把一组基打包成一张矩阵：把新基向量竖成列，做出 B = [b1 b2]。用滑块移动 B 的四个数，舞台上就看到标准格子沿着 B 弯折。要点在此：B 的列就是标准基向量落脚之处，也就是新的基向量。而反过来的活儿是 B 的逆，它把标准坐标换成新基坐标。慢慢推滑块，让 det 趋近于 0，逆矩阵那一栏会显示"奇异（singular）"：基已经压扁成一条线，再也铺不满平面。
如果坐标是把箭头拆开来读，那么反过来，也能从坐标拼出箭头。移动滑块 α 和 β。先从原点画出绿色箭头 α·b1，再从它的尖端接上橙色箭头 β·b2——首尾相接，就是平行四边形加法。结果就是蓝色的 v。无论你怎样设定 α、β，平面上每个点都恰好以唯一一种方式被造出来：不漏，不重。所以 (α, β) 成了 v 在那组基下真正的地址。
现在该收获了。固定一个变换 A，用按钮在两种视角间切换。在标准视角下格子扭曲，一支普通箭头连方向都被拧歪，一眼看不出在发生什么。切到特征基视角，它把 A 的两个特征向量竖成新的坐标轴。于是 A 变成沿这两条轴的纯粹拉伸：每支箭头只改变长度，不旋转。同一个变换，换到对的基去看，就简单得像一个对角矩阵。特征向量那一讲里见过的"不转的方向"，正是这组好基。