基变换
同一栋楼，有人说是“3 楼的红门”，有人说是“正门往左数第二个”。指的是同一个地方，说出的数字却不同。向量也是这样。钉在空间里的箭头本身只有一支，而读出它位置的坐标，取决于我们选定的标尺，也就是基。换了标尺，箭头纹丝不动，只有数字在变。而且，选好一把标尺，就能让看起来复杂的变换一下子变得简单。AI 处理数据的秘密也在这里，因为所谓特征 (feature)，说到底就是在我们选定的基下读出的坐标。
蓝色箭头 P 被钉在屏幕的同一个位置上。用按钮可以在标准基和斜的基之间切换标尺。在标准基下，网格横平竖直，箭头读作 (2.0, 1.0)。切换到斜的基，网格沿着绿色的 b1 和橙色的 b2 倾斜，可箭头 P 连 1mm 也没有动。变的只是读出来的数字，下方的式子这时把这支箭头写成几个 b1 加几个 b2 的和。不管谁怎么称呼它，箭头都是待在原处的那唯一一支。
这次亲手拖动蓝色向量 v。拖动时，两组数字一起变化：上面是标准坐标 (vx, vy)，下面是在斜的基下读出的 (α, β)。同一支箭头，同时被翻译成了两种语言。顺着斜的网格线看，α 是沿 b1 方向走几格，β 是沿 b2 方向走几格，一目了然。v 恰好与 b1 平行时，β 接近 0；与 b2 平行时，α 接近 0。坐标不过是用那个基的眼光去量箭头的结果。
基可以收进一个矩阵里：把新的基向量竖成列，组成 B = [b1 b2]。用滑块移动矩阵的四个格子，舞台上就会显示标准网格跟着这个矩阵变形的样子。关键在于，矩阵的列就是标准基向量到达的位置，也就是新的基向量。反方向的工作由逆矩阵负责，它把标准坐标换成新基下的坐标。下方同时写出逆矩阵和行列式。慢慢移动滑块，让行列式接近 0，逆矩阵那一栏就会显示“奇异 (singular)”。这是基被压成一条线、再也盖不住平面的时刻。按“重置”就回到标准基。
如果说坐标是把箭头拆开来读，那么反过来也可以用坐标把箭头组装起来。移动滑块 α 和 β，先从原点画出绿色箭头 α·b1，再从它的尖端接上橙色箭头 β·b2。这是首尾相接的平行四边形加法，结果就是蓝色箭头。不管 α、β 怎么定，平面上的任何一点都恰好只有一种组装方法。没有漏掉的点，也没有重复的点。所以 (α, β) 就是这支箭头在那个基下的真正地址。最下面一行写出组装好的箭头的标准坐标。
现在到了收获的时候。固定一个变换 A，用按钮在两种视角之间切换。在标准视角下，网格被扭曲，普通的箭头连方向都变了，一眼看不清发生了什么。切换到特征基视角，就把这个变换的两个特征向量立为新的坐标轴。于是这个变换只是沿这两根轴拉长或缩短的纯粹伸缩，两支箭头不转动，只改变长度。箭头旁边的倍数就是那根轴的特征值，下方也写出了两个特征值。同一个变换，在正确的基下看，就像对角矩阵一样简单了。在前面“特征向量就是方向不变的向量”里看到的那些不转动的方向，正是这组好的基。