行列式生长为体积
还记得 2x2 行列式就是面积吧。那矩阵长大到 3x3、4x4 怎么办？画面不会整个换掉，只是维度一级一级往上爬。3x3 是平行六面体的体积，n x n 是带符号的 n 维体积。难处在于怎么算一个大的行列式，而答案出乎意料地朴素：沿着一行走，把它拆成更小行列式的带符号和。加、减、加，用 +,-,+ 的棋盘符号。这就是余子式展开。从这一个工具里，流出克拉默法则、行列式为何是多重线性且交错的、以及两列相同为何逼它归零。
我们亲手把一个 3x3 行列式展开。按钮带你沿最上面一行一格一格走。选第 j 格，那个元素就亮起，然后把它所在的整行整列划掉。剩下的 2x2 就是那个元素的余子式，而那个小行列式正是我们已经熟悉的面积。每一格带着交替的 +,-,+ 符号。所以完整的行列式是 a11 乘 M11 减 a12 乘 M12 加 a13 乘 M13。一步步走，累加和不断长大，最后正好落到 det 上。关键在于一个大行列式拆成小行列式的带符号和。若是 4x4，只要把同一件事再往深做一层。
余子式有两个零件：子式和符号。在格子里点任意一格 aij。那一格高亮，删去它所在的行 i 和列 j 后剩下的 2x2 子式 Mij 出现。旁边是符号 (-1)i+j：行号加列号是偶数取正，是奇数取负。所以符号从左上角起像棋盘一样铺成 +,-,+,-。子式乘上这个符号就是代数余子式 Cij = (-1)i+j Mij。上一个组件里的展开，归根结底就是沿最上面一行把 aij 乘 Cij 全加起来。沿任意一行或任意一列展开，得到的都是同一个 det。这块符号板正是它的保证。
现在用行列式来解线性方程组。在 A x = b 中，A 是固定的可逆矩阵，滑块设定右端 b1、b2。克拉默法则把答案给成行列式的比：x1 是把 A 的第 1 列换成 b 后那个矩阵的行列式，除以 det(A)；x2 是把第 2 列换成 b 后的行列式，除以 det(A)。两个替换后的矩阵以平行四边形面积呈现。分子面积是分母面积的几倍，就正好是 x。移动 b，那个平行四边形就长大或缩小，x1、x2 跟着变。因为行列式是体积，方程组的答案以体积之比出来，这就是克拉默的精神。当 det(A) 趋近 0，分母消失，答案就炸开，你也会看到。
用滑块亲手感受行列式的符号是什么意思。移动这个 2x2 矩阵，作为单位正方形的像的平行四边形也跟着动。那个平行四边形的面积就是行列式的绝对值 |det|。符号是方向：从 î 到 ĵ 的旋转若是逆时针，det 为正；顺时针则为负。轻轻拨动滑块，看两支箭头的旋转翻转的那一刻：|det| 经过 0，符号从 + 变成 -。在二维是带符号的面积，在三维是带符号的体积，在 n 维是带符号的 n 维体积。大小是长了多少，符号是有没有翻面。一个行列式同时装下这两者。
最后是行列式的两种性格：多重线性，且交错。用开关把两列对调（swap）一下。符号就直接翻转。det 大小不变，可 + 变成了 -。这就是交错性。再用滑块把一列朝另一列转过去。两列越来越并齐，在完全重合的那一刻，平行四边形塌成一条线，det 变成 0。两列相同，行列式必为 0，这是交错性的当然推论：把相同的两列对调本该翻转符号，可对调一样的东西又不该有变化，于是 det = -det，也就是 det = 0。用体积看更简单：两条棱在一个方向上重合，形状就压扁了，没有体积。