代数余子式展开
2x2 行列式是面积，这已经知道。矩阵长到 3x3、4x4，图的种类并不换，只是维度一个个升高。3x3 是平行六面体的体积，n x n 是带符号的 n 维体积。大行列式的算法很单纯。沿着一行，拆成更小行列式的带符号之和。加、减、加，棋盘符号走下去。这就是余子式展开。从这个工具里，克拉默公式、行列式为什么多重线性并且交替、两列相同为什么是 0，都会出来。棋盘符号一格一格交替，是展开的规则。平行四边形的面积和符号就是那个行列式。两列叠在一起，面积就消失。克拉默的两个平行四边形，是答案的分子和分母。
直接展开 3x3 行列式。用按钮沿第一行一格一格走，选中第 j 格，那一项点亮，它所在的行和列被擦掉。剩下的 2x2 就是该项的余子式，那个小行列式是已经知道的面积。每一格交替加上加、减、加。所以整个行列式是 a11 乘 M11 减去 a12 乘 M12 再加上 a13 乘 M13。累积和一步步长大，最后落到 det。大行列式拆成小东西的带符号之和，这是关键。4x4 就把同一件事再深一层。选中的那一格的行和列被擦掉，剩下的小行列式就是该项的面积。累积和最后落到 det，这就是展开本身。符号从左上角交替铺开，两列重叠时面积消失。
余子式有两个零件。子式和符号。在格子上按 aij，那一格被突出，擦掉行 i 和列 j 之后剩下的 2x2 子式 Mij 出现。旁边浮出符号 (-1)i+j。行号加列号是偶数就加，是奇数就减。所以符号从左上角像棋盘一样铺开。子式乘上这个符号就是余子式 Cij = (-1)i+j Mij。前一张图的展开，就是沿第一行把 aij 乘 Cij 全部加起来。沿任何一行或任何一列展开，得到的 det 相同，符号板保证了这一点。无论沿哪一行展开，得到的都是同一个值。那一小块面积，就是余子式的内容。
用行列式解线性方程组。在 A x = b 里，A 是固定的可逆矩阵，滑块定下右边的 b1、b2。克拉默公式把答案给成行列式之比。x1 是把 A 的第 1 列换成 b 之后的行列式除以 det(A)，x2 是把第 2 列换成 b 的行列式除以 det(A)。两个换过的矩阵画成平行四边形的面积，分子面积是分母面积的几倍，就是 x。移动 b，那些平行四边形变大或变小，x1、x2 跟着变。行列式是体积，所以方程组的答案是体积之比，这是克拉默的意思。det(A) 接近 0 时分母消失，答案变大，也能看见。
用滑块看行列式的符号。移动 2x2 矩阵，单位正方形所去的平行四边形一起动。那个平行四边形的面积是行列式的绝对值 |det|。符号是方向。从第一轴转到第二轴若是逆时针，det 为正。若是顺时针，det 为负。把滑块缓缓拨过两支箭头旋转翻转的那一刻，那一刻 |det| 穿过 0，符号从正变成负。2 维是带符号的面积，3 维是带符号的体积，n 维是带符号的 n 维体积。大小是长了多少，符号是翻了没有，一个行列式把两者装在一起。
行列式有两种性格。多重线性，并且交替。用按钮交换两列 (swap)，符号就翻转。大小不变，正变成负，这就是交替性。用滑块把一列转向另一列，两列渐渐平行，完全重叠的那一刻，平行四边形扁成一条线，det 变成 0。两列相同，行列式就是 0，这是交替性的结果。把同一列和自己交换，符号本该变，可是换的是同一个东西，所以不该有变化，于是 det = -det，也就是 det = 0。用体积看更简单。两条边叠在同一个方向上，就扁了，没有体积。