中心极限定理

先和钟形本身熟悉起来。正态分布在均值处最高，向两侧对称而平滑地下降。令人惊讶的是，这条曲线只由两个数，即均值 μ 和标准差 σ，完全确定。μ 是峰所在的位置，也就是中心；σ 是钟的宽度。正态分布还有一条值得记住的好规则：68-95-99.7 规则。用按钮选择宽度，涂色的面积会显示：距均值 ±1σ 以内约占全部的 68%，±2σ 以内约 95%，±3σ 以内约 99.7%。换句话说，服从正态分布的值几乎总是 (99.7%) 落在距均值 3σ 以内，超出 3σ 的情况很少见，大约千次中三次。σ 是一把天然的尺子 (ruler)。离均值多少个 σ，就说明这件事有多罕见。凭这一条规则，就能当场判断某个测量值是正常还是异常。

现在来看钟形是怎样自己冒出来的。掷一颗骰子，1 到 6 的概率都一样，分布是平平的长方形，和钟形相去甚远。可是掷好几颗骰子再看它们的和，魔法就出现了。用按钮增加骰子的个数。只加两颗，平平的分布就变成以 7 为顶点的三角形；增加到三颗、四颗，棱角变圆，越来越接近钟形。蓝色柱子是和的概率，金色曲线是具有相同均值和散布的正态分布。为什么会这样？和要非常小，所有骰子必须同时掷出小点数，这很少见；而和落在中间附近的途径多得数不清。所以中间的值压倒性地常见，形成了峰。原料骰子一颗完全不是钟形，可只要加上几颗，钟形就出现了。这是中心极限定理发挥作用的最简单的例子。

骰子本来就是对称的，可以说是个容易的例子。那么，对于明显偏向一侧的分布又会怎样？这里有一个指数分布，0 附近最多，向右拖着长长的尾巴，完全不对称。从这个偏斜的分布中抽出 N 个值求平均，把许多这样的平均值收集起来画成直方图。在下方的轨道上增大样本量 N。N=1 时还是原来偏斜的形状，可 N 越大，样本均值的分布竟然越来越接近对称的钟形，同时越来越窄。不管来源多么歪斜，只要抽得够多再求平均，这个平均值就会收敛到正态分布。这就是中心极限定理的核心。而且它的宽度随着 N 增大按 1√N 缩小，下方写出这个值。样本增加到 4 倍，均值的散布就减半。所以样本越多，对均值的估计越精确，民意调查只问几千人就相当准确，原因正在于此。

既然正态分布随处可见，用一把标准尺子把所有正态分布统一起来就方便了。这就是 z 标准化。把某个正态分布 N(μ, σ) 中的值 X，改写成离均值多少个 σ。写成式子就是 z = (X − μ)σ。先减去 μ，把中心移到 0；再除以 σ，把宽度调成 1。这是上一讲看到的 aX+b 变换的一个特例 (a=1σ, b=−μσ)。用下方两条轨道怎样改变 μ 和 σ，曲线下方的 z 刻度始终固定在 0、±1、±2。金色上排的 x 值因分布而异，可用蓝色下排的 z 值来量，所有正态分布都变成同一个标准正态 N(0, 1)。它之所以强大，是因为只要有一张标准正态的表或一个函数，就能把世上任何正态分布的概率换成 z，用那一张表全部读出来。无论是身高为 175cm 的概率还是股票收益率，换成 z 都能用同一把尺子量。

最后，看看这一切在工程中怎样使用。同一个量测量多次，每次的值都会略有不同。这种散布是无数微小噪声叠加的结果，所以根据中心极限定理服从正态分布。图中的测量点也在均值周围呈钟形散开。把 68-95-99.7 规则用在这里。用按钮改变带子的宽度，带内的点是金色，带外的点是红色，可以看到约 95% 的测量值落在均值 ±2σ 以内。按“重新测量”，可以用一组新的测量点再次确认同样的比例。反过来，就可以约 95% 地确信真值落在测量均值 ±2σ 以内，这就是置信区间。把测量结果写成 5.0 ± 0.2 时的那个 ±，正是这个意思。在工程中，任何数字都不会离开 ± 单独出现。零件尺寸的公差、实验值的误差范围、民意调查的抽样误差、传感器的精度，都表示为估计值 ± 若干 σ。所以统计不是说“均值是多少”的语言，而是说“均值在这个范围内，而且我们有这么大把握”的语言。正态分布和中心极限定理给这份把握配上了数字。概率统计这条线到这一讲结束。线性代数的变换与特征值、复数的旋转、微分方程的流动与稳定性，再到概率的分布与估计，工科学生工具箱里的基本工具都已握在手中。