计算机只能近似地知道数
至今我们都把误差看作来自方法：步子太大、阶数太低。但在每一种方法之下，还铺着一个更根本的极限。计算机无法精确存储实数，连 0.1 都不行。64 位浮点只记住大约 15 到 16 位，其余四舍五入丢掉。通常这点微小误差被掩埋、看不见，可一旦你相减两个几乎相等的数、把小误差累积上百万次、或遇到答案对输入敏感的问题（坏条件数），它就会突然冒出来。这一讲看的是数值分析的地基，也就是计算机处理数的方式本身，以及从中泄漏的误差。这正是你在上一讲见到的舍入误差地板的真身。
数轴上的刻度，就是计算机能精确存储的数。乍看很奇怪：靠近 0 密集，越往右越稀疏。这是因为浮点用几位有效数字加一个指数来写数，很像科学记数法。所以每当大小翻倍（一个八度），相邻可表示值之间的间隔也恰好翻倍。这个最小间隔叫 ulp（units in the last place）。移动 x，就能看到数越大 ulp 越大。这意味着大数存得粗、小数存得细。一切舍入误差都从这里开始。
我们就在 1 附近量一量那间隔到底多小。把 ε = 2k 加到 1 上，并逐步降低 k。到某一刻，1+ε 就直接变成 1。这是因为一旦加上的 ε 小于 1 上方可表示间隔的一半，它就被舍入到最近的可表示值，也就是 1 本身。这个边界就是机器精度：在 float64 中是 2⁻⁵² ≈ 2.2×10⁻¹⁶，约合 15 到 16 位有效数字。这不是空谈，而是真实的运算。对计算机来说，1 加上一个极小的数可以就是 1。这是精度有地板的第一个证据。
单个误差在 10⁻¹⁶ 量级，看似可以忽略。可 0.1 在二进制里除不尽，存进去的那一刻就已带着一个极小的误差。每加一次，误差也跟着积一点。用滑块增加相加次数，看与真值 n/10 的偏差稳步变大。单步看不见的，几百次后就清楚了；在像仿真那样重复上十亿次的计算里，足以毁掉结果。所以数值程序员会改变相加顺序（从小到大），或用补偿求和（Kahan 求和）来驯服这种累积。
最可怕的是另一种：相减两个几乎相等的数。在小 x 处计算 (1−cos x)/x²。真值在 x 变小时应趋于 0.5。可金色曲线（朴素计算）到某处就塌成 0。x 小时 cos x 几乎为 1，于是 1−cos x 几乎丢光有效数字：高位相同被抵消，只剩不可信的低位。这就是灾难性相消。蓝色曲线把同一个值改写成 1−cos x = 2 sin²(x/2) 再算。因为它根本不做减法，就一路守住 0.5。公式一样，但运算顺序决定了精度的生死。
最后一个不是关于误差，而是关于问题本身的性质。解方程组就是找两条线的交点。两条线干脆地相交，交点就清晰。可如果它们几乎平行呢？把一条线动一根头发丝，交点就窜到老远。用滑块降低斜率，让两线接近平行：同样 10% 的扰动，解却越动越大。这个放大倍数就是条件数。条件数大（病态），输入的小误差就在答案里被放大。可怕的是，这与舍入误差不同，再好的计算机也修不了，因为问题本身就敏感。所以好的数值分析，既要稳定的算法，也要良态的问题，两手都要抓。