欧拉公式
上一讲说过，复数乘法就是旋转；当旋转很重要时，极坐标形式 r∠θ 用起来方便。可是 ∠θ 这种写法总有点像权宜之计。真正的公式另有其人：eiθ。把虚数放进指数函数，一开始听来荒唐，结果却干净得惊人。eiθ 就是单位圆上角度为 θ 的那个点，仅此而已，它等于 cos θ + i sin θ。偏偏用指数函数，是因为指数有“相乘时指数相加”的性质，于是“旋转的角度相加”这条规则就落成了一行指数法则。这个 eiθ 正是电气工程中处理交流电的相量的本体，也是阻尼振动和信号的语言。这一讲在单位圆上亲手转动 eiθ，看看它为什么是旋转最自然的写法。
先亲眼看看 eiθ 是什么。抓住金色的点沿圆转动，点始终在半径为 1 的圆，也就是单位圆上。角度 θ 决定了点的位置。横向走了多少是 cos θ，纵向走了多少是 sin θ；向两条轴画下的绿色和橙色虚线标出这两段长度，下方写出数值。所以 eiθ = cos θ + i sin θ，这就是欧拉公式。不必死记，只要用图记住：eiθ 是单位圆上角度为 θ 的点。θ 取 0，点在右边的 1；90 度时在上方的 i；180 度时在左边的 −1。上一讲的 r∠θ 中 r=1 的情形就是这个 eiθ，一般的复数再乘上大小，写成 r·eiθ。
现在让角度随时间流动。把 θ 换成 ωt，就得到 eiωt：随着时间以恒定速度 ω 绕圆旋转的箭头，这就是相量。按下“播放”，箭头就转起来，速度按钮可以改变转动的快慢。这里的关键是箭头的影子。它投在实轴上的影子，也就是 Re(eiωt) = cos ωt，变成一个绿点，在横轴上左右来回振动。这正是交流电压或信号的波形。墙上插座里的 60Hz 交流电，收音机里的信号，说到底都是这样一支旋转箭头的影子。电气工程不用麻烦的正弦、余弦，而用一支旋转的箭头来处理交流电，原因就在这里。转动比摇晃更好处理。
指数函数为什么是旋转的自然写法，在这里一目了然。拖动单位圆上的两个点 eiθ₁、eiθ₂，两者相乘后的点落在哪里，会用金色箭头同时画出来。直接用指数函数最基本的性质“相乘时指数相加”，就得到 eiθ₁·eiθ₂ = ei(θ₁+θ₂)。乘积是角度为 θ₁+θ₂ 的点。上一讲亲手验证过的“相乘时角度相加”这条规则，在这里无需证明，一行指数法则就得出来了。把乘法变成角度加法的这个性质，才是 eiθ 写法真正的威力。不必背繁琐的三角函数和角公式，只要把指数相加就行。
真正的工程从这里开始。到目前为止都是纯旋转，所以大小一直是 1。可如果在指数上再加一个实部，就得到 e(σ+iω)t。其中 ω 仍是转动的速度，新加入的 σ 是改变大小的比率，因为大小按 eσt 变化。在下方的轨道上拖动 σ，金色曲线随之改变形状。σ 为 0 时大小不变，点只是绕圆转动。σ 为负数时大小逐渐缩小，曲线向内卷成螺线，也就是一边振动一边平息的衰减。σ 为正数时螺线向外扩展，振动越来越大。敲钟后声音响起又渐渐消失，电路的暂态响应，吊桥是稳定还是不稳定，全都由这个 σ 的符号决定。把旋转 ω 和衰减 σ 一起装进一个指数里的，就是 e(σ+iω)t。
最后，把这一切汇聚到一个点上。拖动点，让 θ 恰好转到半圈 π，或者按下“把 θ 送到 π”按钮。eiπ 是单位圆上转了半圈的点，也就是 −1。点到达那里时，圆上的标记会亮成金色。所以 eiπ = −1，两边加 1，就得到 eiπ + 1 = 0。这就是被称为数学中最美公式的欧拉恒等式。它美在：自然常数 e、虚数单位 i、圆周率 π，还有 1 和 0，这五个来自完全不同地方的常数，毫无冗余地聚在一行里。不过对我们来说，这不是神秘的咒语，只是一幅图。转半圈就是 −1，仅此而已。一旦把 eiθ 看成旋转，那个看似最难的式子就成了最自然的一步。