e^{iθ} 就是单位圆上的旋转
上一讲我们说复数相乘就是旋转，而旋转要紧时极形式 r∠θ 很方便。可那个 ∠θ 的写法，是不是有点像临时凑的？真正的公式另有其物：eiθ。把虚数放进指数函数，乍听荒唐，结果却干净得出奇。eiθ 不过就是单位圆上角度为 θ 的那个点，仅此而已。它等于 cos θ + i sin θ。为什么偏偏是指数函数？因为指数有"相加就相乘"的本事，于是旋转那条"角度相加"的规则，就落成了指数律的一行。这个 eiθ，正是电气工程用来处理交流的相量的本体，也是衰减振动与信号的语言。这一讲里，你会亲手把 eiθ 绕单位圆转一转，体会它为什么是旋转所能拥有的最自然的记号。
先用眼睛看看 eiθ 到底是什么。抓住点，沿圆转一转。点永远落在半径为 1 的圆上——单位圆。角度 θ 就是这个点的位置。横着走了多少是 cos θ，竖着走了多少是 sin θ。所以 eiθ = cos θ + i sin θ，这就是欧拉公式。没什么要背的。只记住这幅图：「eiθ 是单位圆上角度为 θ 的那个点」。把 θ 设为 0，点就在 1（右）；90 度时是 i（上）；180 度时是 −1（左）。上一讲那个 r∠θ 在 r=1 时，正是这个 eiθ，而一般复数不过是把它乘上 r，写成 r·eiθ。
现在让角度随时间流动。把 ωt 放到 θ 的位置，就得到 eiωt：随时间以恒定速率 ω 绕圈的箭头。这就是相量。按播放。箭头一圈圈地转。这里的关键，是那支箭头的影子。它投在实轴上的影子，也就是 Re(eiωt) = cos ωt，左右来回滑动、振荡。那，正是交流电压或信号的波形。墙上插座里 60Hz 的交流，收音机的信号，说穿了都是这样旋转箭头的影子。电气工程之所以用一支旋转的箭头、而不是繁琐的正弦余弦来处理交流，原因就在这儿：转，比晃更好打理。
指数函数为什么是旋转的自然记号，在这儿就清楚了。拖动单位圆上的两点 eiθ₁、eiθ₂。它们相乘会落到哪儿？用指数函数最基本的性质"相乘就把指数相加"，就得到 eiθ₁·eiθ₂ = ei(θ₁+θ₂)。积就是角度为 θ₁+θ₂ 的那个点。上一讲你用手验证过的"相乘则角度相加"，在这里无须证明，一行指数律就出来了。把旋转化为加法的这个本事，正是 eiθ 记号真正的力量。不必去背别扭的三角函数加法公式——把指数一加就行。
现在，真正的工程开始了。到此为止都是纯粹的旋转，大小固定为 1。可只要往指数里再加一个实部，就成了 e(σ+iω)t。这里 ω 仍是旋转的速度；新来的 σ 是大小变化的比率——因为大小是 eσt。拖动 σ 看看。σ 为 0 时大小不变，就只是绕着圆转。σ 为负时大小持续缩小，是一条向内卷的螺旋——边振荡边衰减、渐渐平息。σ 为正时是向外铺开的螺旋，一种越来越大的振荡。敲钟后声音回响又渐息、电路的过渡响应、晃动的桥稳还是不稳，全由这个 σ 的符号决定。把旋转（ω）和衰减（σ）一并收进一个指数，正是 e(σ+iω)t 所做的。
最后，把这一切汇到一个点上。拖动点，让 θ 正好落在 π（转半圈）。按"把 θ 送到 π"按钮也行。eiπ 是绕单位圆转了半圈的点，也就是 −1。所以 eiπ = −1，两边加 1，就得到 eiπ + 1 = 0。这就是被称作数学中最美等式的欧拉恒等式。美在哪儿？自然常数 e、虚数单位 i、圆周率 π，还有 1 和 0——五个来自全然不同之处的常数，不多不少地聚在一行里。可对我们来说，这并不是什么神秘咒语，只是一幅图。「转半圈就到 −1」，仅此而已。一旦你有了把 eiθ 看成旋转的眼睛，那个看起来最难的式子，就成了最理所当然的一步。