期望是重心，方差是散布
上一讲我们说，分布是概率散布的整体形状。可整条分布拎着走太沉。实务里，我们用区区两个数来概括一条分布：大致聚在哪里，以及散得多宽。这两个，就是期望与方差。期望 E[X] 是分布的中心，更确切地说，是重心。把分布看成柱子的重量，那些柱子恰好平衡的支点位置，就是期望。它把"平均而言，值会落在这附近"钉成了一个点。方差，则是值从那个中心平均散开多远，散布的大小。因为即便中心相同，是挤作一团还是铺得很开，是完全不同的局面。这一讲里，你会把期望当作天平的平衡点、把方差当作距离平方的平均，亲手摸一摸，用身体记住概括一条分布的这两个数的含义。
先用天平来感受期望。横梁上，我放了几个质量不同的砝码——大的重，小的轻。这根梁恰好平衡的支点，那个点就是重心。拖动砝码看看。支点立刻跟着移，重新取得平衡。你能看到它往重砝码那边偏。把轻砝码送多远，支点也几乎不动；可把重砝码挪一点点，它就跟着移好多。这正是期望。在概率里，砝码的"质量"是那个值出现的概率，砝码的"位置"是那个值本身。值越可能，就越用力把平均往自己这边拉。所以期望就是"以概率为重量量出的中心"，是分布取得平衡的那唯一一点。
那个平衡点怎么算？加权平均。不是把值全加起来除以个数那种普通平均。是把每个值乘上它出现的概率再相加。写成式子就是 E[X] = Σ x·p(x)。拿骰子说，正常骰子 1 到 6 概率都是 16，所以平均是 3.5。可换成重心偏向一边的"灌铅骰子"，情况就变了。拖动柱高，把某一面的概率调大。那一面一旦常出，平均 E[X] 就被往那一面拉，因为概率越大的值对总和的贡献越大。每个值都带着与自己概率相当的"话语权"，为均值的位置拔河。把第 1 块里的重心换成数，正是这个加权和：重量＝概率，位置＝值，平衡点＝Σ x·p(x)。
知道了中心，接着量散布。这就是方差。关键问题是"值平均而言离均值多远"。不能直接把距离平均。比均值大的是正、比均值小的是负，会互相抵消成 0。所以把距离平方。一平方，符号没了，全成了正数。把点散开看看。每个点到均值的距离作为一条边，画出一个正方形。那正方形的面积，正是距离的平方。方差，就是所有这些正方形面积的平均。点挤在均值附近，正方形就小、方差就小；散得宽，正方形就大、方差猛增。因为把距离平方了，离得越远的点受的"罚"就重得多。所以方差是对极端值敏感、对散布严格的尺度。
方差有一点不便。因为把距离平方了，单位也跟着平方。身高以 cm 量，方差的单位就是 cm²，是面积单位。"身高的散布是 25 平方厘米"，实在没有感觉。于是把平方再用平方根解开。那就是标准差。标准差 = √方差，单位重新回到 cm，与 X 同单位。"身高的散布是 5 厘米"，一下就懂了。在正态曲线上拖动 σ。标准差 σ 是钟形曲线天然的"宽度"——从中间的峰到两肩拐弯处的距离。σ 小，曲线就窄而尖；σ 大，就宽而平。总结：方差 σ² 是便于计算的平方单位的量，而标准差 σ 是让我们用原单位真切感到"散得多开"的、日常在用的宽度。
最后，看看你对值动手时，这两个数怎么变。把 X 变成 aX+b 非常常见，比如单位换算或校准——摄氏变华氏、米变英尺。用滑块动一动 a 和 b。先看 b：它给每个人加同样的值，于是把整条分布连形状一起往旁边平移。所以均值也移动 b，可散布程度一点不变，因为大家一起动了，彼此的距离没变。而 a 则是拉伸或压缩。均值变成 a 倍，曲线的宽度也拉成 a 倍。所以标准差是 |a| 倍，方差因为是距离平方的量，是 a² 倍。写成式子就是 E[aX+b]=aE[X]+b，Var(aX+b)=a²Var(X)。加法只移中心、不改散布；乘法把中心和散布一起拉伸，而方差按平方。有了这条规则，换单位也好、把数据标准化也好，你都能在脑子里立刻算出统计量会怎样随之而变。