大定理真正的舞台在三维
在 L6，你把高斯定理和斯托克斯定理看作平面上的圆。可那只是真身的一道扁影子。本来的舞台是三维。散度定理讲的是空间里的球，不是平面里的圆，它的边界是曲面，不是边线。斯托克斯定理对你给同一条环路盖上的任何曲面都成立，不只是一张平圆盘。这一讲里，你用自己的手指转动画面，立体地看法线如何在曲面上立起，通量如何穿过一张面，内部之和又如何与边界相等。你在平面上背下的那两行，在体积和曲面上重新活了过来。
先立体地看看曲面到底是什么。屏幕上浮着一张鞍形的面 z = 0.4(x² − y²)：它一个方向往上、垂直方向往下，像马鞍。用手指拖动屏幕把它转起来。原本看着像张平图的东西，原来是悬在空间里的一张二维面。曲面上某一点立着一支法线箭头 n̂，在任何点都是与该处的面恰好垂直的方向。用滑块把鞍弯得更厉害，法线也跟着倾斜。曲面是一张面，你能在它上面任何地方立起一支法线，这就是曲面积分的起点。
现在把那张曲面放进流里。有一个均匀向上流的场 F = [0, 0, 1.4]，一张平的方形面浮在那股流中，上面插着朝外的法线箭头。曲面通量 ∫∫ F·n̂ dS 就是穿过这张面跑出去的流的总量：在面上每一小片，把 F·n̂ 乘以那片的面积，全加起来。拖动倾斜滑块，让面正对着流，再把它侧立起来。正面迎流时通量最大；侧着站、跟流平行时，它掉到几乎为零。拖动旋转视角，法线与流之间的夹角就立体地显现出来。通量归根结底，就是面有多正地对着流。
现在来到散度定理真正的舞台。L6 里的圆，其实是球的影子。场是 F = [x, y, z]，从原点向四面八方伸出的流，散度处处为 ∇·F = 3。屏幕上浮着一个半透明的球，表面环着朝外的法线箭头。用半径滑块把球放大缩小。两个数会一起跟着变。边界 = 穿过球面漏出去的总通量 ∮∮ F·n̂ dS，内部 = 把球内散度全加起来的体积分 ∭ ∇·F dV。无论半径多大，两者都几乎一致，因为都等于 4πR³。拖动旋转视角，连球背面的箭头都看得见。这和平面上的是同一条定理，只是把边线升成曲面、把面积升成体积，各高了一维。
斯托克斯定理在三维里才显出真正的力量。场是 F = [−y, x, 0]，在平面里逆时针旋转的旋涡，旋度为 ∇×F = (0, 0, 2)。屏幕上 z=0 平面里有一条闭合的圆环路，沿边缘走着切线箭头。按一下切换钮。它把你给这条环路盖上的封盖曲面，在平圆盘和向上鼓起的圆顶（半球）之间切换。要点在于：两者形状完全不同，却共用同一条环路作边界。边界 = 绕环路转的环量 ∮ F·dr，曲面 = 穿过封盖的旋度通量 ∫∫ (∇×F)·n̂ dS，两者几乎一致，无论你把封盖做成圆盘还是圆顶，那个值都不变。用半径滑块把环路放大，再拖动旋转视角。环量只由边界决定，旋度穿过任何封住那条边界的曲面，总和都一样。
最后，把 2D 和 3D 叠在同一个画面上。用切换钮在两种模式间来回。开启 3D，一个环着朝外法线的球（高斯）或盖了封盖的环路（斯托克斯）就立体地浮现。开启 2D，它便摊平，变回你在 L6 见过的那张图：平面上一个圆，高斯环着朝外箭头，斯托克斯则有切线箭头绕着转。内层的切换钮还能在高斯和斯托克斯之间切换。拖动旋转视角，看那原本立体的球和环路如何侧倒、塌成平面图。L6 的 2D 定理并没错，它只是这条 3D 定理沿 z 轴俯视下来的影子。∮∮ F·n̂ dS = ∭ ∇·F dV 与 ∮ F·dr = ∫∫ (∇×F)·n̂ dS，两行合上了整个向量微积分。