曲面积分

先在立体里看曲面是什么。画面上浮着一张鞍形的片 z = 0.4(x² − y²)，一个方向上升、垂直方向下降，像马鞍的曲面。用手指拖动画面转动，看起来扁平的图其实是浮在空间里的 2 维片。高处涂成金色，低处涂成蓝色。曲面上的一个点立着法线箭头 n̂。无论哪一点，都是那一片在该处恰好垂直的方向。用滑块把鞍弯得更厉害，法线也跟着倾斜。曲面是面，上面任何地方都能立起一条法线，这是曲面积分的起点。

现在把这张曲面放进流动里。有一个向上均匀流的场 F = [0, 0, 1.4]，一张平的矩形片浮在这流动里。片涂成绿色，流动箭头是蓝色，片上向外的法线是金色。曲面通量 ∫∫ F·n̂ dS 是穿过这张片流出去的总量。它是面上每一小块的 F·n̂ 乘上那一块的面积再全部加起来。用倾斜滑块让片正面迎着流动，再侧过来立住，差别就显出来。正面迎着流动时通量最大，和流动并排侧立时几乎掉到 0。拖动画面转动，法线和流动的夹角在立体里看得见。通量说到底就是面有多正对着流动。

现在是散度定理的真正舞台。平面上的圆其实是球的影子。场是 F = [x, y, z]，从原点向四面伸开的流动，散度处处是 ∇·F = 3。画面上浮着一个半透明的金色球，表面上围着金色的向外法线箭头。用半径滑块把球放大缩小，两个数一起跟着变。边界 = 穿过球表面漏出去的总通量 ∮∮ F·n̂ dS，内部 = 把球里的散度全部加起来的体积积分 ∭ ∇·F dV。边界的数是金色，内部的数是蓝色，两者相符时绿色写出几乎一致。无论哪个半径，两者都几乎一致，因为都是 4πR³。拖动画面转动，球对面的箭头也看得见。平面的周长升成曲面的表面，面积升成体积，同一条定理升了一维。

斯托克斯定理在 3D 里显出真正的力量。场是 F = [−y, x, 0]，在平面上逆时针转的旋涡，旋度是 ∇×F = (0, 0, 2)。画面上 z=0 的平面里有一个闭合圆环，环本身是蓝色，沿周运转的切向箭头是金色。按下按钮，套在这个环上的盖面在扁平圆盘和向上鼓起的圆顶之间切换。盖面涂成金色。关键是两者形状完全不同，却以同一个环为边界。边界 = 绕环的环流 ∮ F·dr，曲面 = 穿过盖面的旋度通量 ∫∫ (∇×F)·n̂ dS，两者几乎一致，盖面换成圆盘或换成圆顶，这个值都不变。边界的数是金色，曲面的数是蓝色，相符时变成绿色。用半径滑块放大环，拖动画面转动，就能确认。环流只由边界决定，堵住这个边界的任何曲面，旋度的和都相同。

最后把 2D 和 3D 叠在同一个画面上。按钮可以在两种模式之间切换。打开 3D，围着向外法线的球，或套了盖的环，就立体地浮出来。高斯那边的曲面是金色，斯托克斯那边的盖是蓝色。打开 2D，它就变扁，成为在平面上看到的那一张图。平面上的圆围着向外箭头的是高斯，切向箭头在转的是斯托克斯。另一个按钮也能切换高斯和斯托克斯。拖动画面转动，曾经立体的球和环侧过来，看得出它们怎样塌成平面的图。平面上的 2D 定理并没有错，它是这个 3D 定理从上往下看的影子。∮∮ F·n̂ dS = ∭ ∇·F dV 与 ∮ F·dr = ∫∫ (∇×F)·n̂ dS，两行把向量分析整个关上。