共振让振幅爆发

先把舞台搭好。C2 的振动系统是个封闭系统：碰一下，它就自己振、然后平息。现在我们加上外力。有人从外面以稳定的节拍不停地推。在方程里，右边多出一个 Fcos(ωt)：m x'' + c x' + k x = Fcos(ωt)。这里的 ω 是推的人的节拍，即驱动频率——和系统本来想振的节拍 ω₀ 是两回事。按播放。红色力箭头左右推，质量被这力拽着摆动。仔细看，质量和力以完全相同的节拍摆动，只是稍稍滞后地跟着。这个时间差叫相位滞后。稍等一会儿，起初的参差不齐平息下来，进入一个以固定振幅规则摆动的稳态。我们想知道的，正是那个稳态振幅有多大。

现在是关键问题。推力的大小 F 保持不变，只改节拍 ω，振幅会怎么变？即便以同样的力推，结果也因节拍而完全不同。横轴画驱动频率 ω，纵轴画稳态振幅，就得到这条共振曲线。拖动 ω，慢慢往上调。ω 很低时，力太慢吞吞，质量只是跟着它走；振幅又小又平。把 ω 往上调、靠近 ω₀，振幅就陡然蹿升——每一次推的节拍都和系统想振的节拍对上，能量便高效地积累。把 ω 再往上调、越过 ω₀，这回力太快、质量跟不上，振幅又变小。最终，振幅是一条在 ω₀ 附近隆起成峰的曲线。节拍就是一切。

仔细看峰恰好形成的那个位置，ω = ω₀。这是驱动频率与系统固有频率精确一致的点。用按钮比较三种情形。ω 低于或高于 ω₀ 时，质量摆得适度；可在 ω = ω₀ 时，以同样的力推，摆动却大得压倒一切。为什么偏偏在这里？想想秋千。在秋千正往前走的那一刻推，推力 100% 加到运动上。节拍一错，有的推帮忙、有的推捣乱，彼此抵消。在 ω = ω₀，每一次推都完美地朝同一方向相加，能量不漏失、不断累积。所以小小的力也能造出巨大的振幅。这就是共振的心脏。

那振幅真会无限增大吗？阻尼把它拦住。C2 里见过的阻尼 ζ、那个耗能的损失，压住了共振的爆发。拖动 ζ 改一改。阻尼很小时，峰高耸入云、又尖。每一轮积累的能量几乎不漏，所以只在 ω₀ 那个节拍上才大得惊人。把阻尼加大，峰就变低、变宽。损失大，振幅没法无止境地积累，于是在 ω₀ 附近一大片范围内都不温不火地响应。这个峰的尖锐程度叫 Q 值。Q 大（阻尼小）就响应得又窄又利；Q 小就响应得又宽又钝。收音机要 Q 大，隔壁电台才不串进来、才能清晰地只锁住一个频率；桥要 Q 小，偶尔遇上对上的风也不会塌。设计说到底，就是把这个 Q 放在哪里的问题。

这一个现象，藏在世界的角角落落。秋千是友善的一面：把小力按节拍加上去、享受大振幅，是有意地利用共振。桥是可怕的一面。1940 年的塔科马大桥，因风造出的周期性力与桥的固有频率对上，振幅失控地增大而坍塌。所以桥和建筑被设计成固有频率不与常见外力重叠，并给足阻尼把 Q 压低。收音机是聪明利用的一面。天线同时收进无数广播信号，可一旦把电路的固有频率调到想要的电台，就只有那个信号被共振大大放大、单挑出来。转动旋钮，就是改变电路的 ω₀。共振，用得好是工具，懵懂中受之则是灾难。