微分方程 共振

先搭好舞台。上一讲的振动系统是封闭的：碰一下，它就自己晃动，然后平息。现在加入外力：有人在外面以固定的节拍不断地推。方程的右边多出了 Fcos(ωt)：m x'' + c x' + k x = Fcos(ωt)。这里的 ω 是推动一方的节拍，即驱动频率，它与系统本来想摆动的节拍 ω₀ 是两回事。按下“播放”，红色的力箭头左右推动，连在绿色弹簧上的金色质量被这个力带着摆动。仔细看，质量与力以同样的节拍摆动，却稍稍落后；这个时间差叫作相位滞后。在实际系统中，起初的杂乱平息后，会进入以恒定振幅规律摆动的稳态，图中画出的正是这个稳态。我们想知道的，就是这个稳态振幅有多大。

现在是核心问题。推力的大小不变，只改变节拍 ω，振幅会怎样变化？即使用同样的力去推，节拍不同，结果也完全不同。横轴取驱动频率 ω，纵轴取稳态振幅，画出来的就是这条共振曲线。在下方的轨道上慢慢把 ω 往上拖，就会用数字显示该频率下的振幅倍数。ω 很低时，力太慢吞吞，质量只是跟着力走，振幅又小又平。把 ω 调高，靠近 ω₀ 时，振幅陡然上升，因为推动的节拍与系统想要摆动的节拍对上了，能量得以高效累积。轨道上的金色刻度就标在 ω₀ 的位置。ω 再往上越过 ω₀，力又太快，质量跟不上，振幅重新变小。最终，振幅是在 ω₀ 附近形成峰值的一条曲线。节拍就是一切。

仔细看峰值出现的那个位置，ω = ω₀，也就是驱动频率与系统固有频率恰好一致的点。用三个按钮比较三种情况：ω 低于或高于 ω₀ 时，质量摆动得适中；可当 ω = ω₀ 时，用同样的力推，摆动却压倒性地大。下方写出的振幅倍数也把这个差别原样呈现出来。为什么偏偏是这里？想想秋千就明白了。在秋千往前荡的那一刻推，推力就 100% 加到运动上。节拍错开时，有的推帮忙，有的推添乱，彼此抵消。在 ω = ω₀ 时，每一次推都朝同一方向叠加，能量不漏掉，不断累积。所以小小的力也能造出巨大的振幅。这就是共振的核心。

那么，振幅真的会无限增大吗？阻尼会阻止它。上一讲见过的阻尼 ζ，也就是吞噬能量的那份损耗，压住了共振的爆发。在下方的轨道上拖动 ζ，阻尼很小时，峰值高耸入云，尖得像针。累积的能量几乎不流失，所以只在恰好 ω₀ 的节拍上变得极其巨大。把阻尼调大，峰值就变低、变宽。损耗大，振幅无法无限累积，系统在 ω₀ 附近很宽的范围内都只做出中等的响应。这个峰的尖锐程度叫作 Q 值，下方与 ζ 一起写出它的数值。Q 大，阻尼小，响应窄而尖锐；Q 小，响应宽而迟钝。收音机需要大的 Q，才能只清晰地收到一个频率而不混入邻台；桥梁则需要小的 Q，这样即使风的节拍偶然对上，也不会坍塌。设计说到底，就是把这个 Q 放在哪里的问题。

这一个现象藏在世界的各个角落。秋千是友好的一面：踩着节拍加一点小力，享受大振幅，是有意利用共振的例子。桥梁是可怕的一面。1940 年，塔科马海峡大桥被风缠上了桥面的扭转振动，风不断向其中注入能量，振幅大到无法控制，大桥终于坍塌。严格说来，那是风自己放大振动的颤振，但“能量踩着振动的节拍不断累积”这一骨架是相同的。所以桥梁和建筑在设计上，要让固有频率避开常见的外力，并给予足够的阻尼，把 Q 压低。收音机是巧妙利用共振的一面。天线同时收到无数广播信号，把电路的固有频率调到想听的电台，只有那个信号会因共振而被大大放大、挑选出来。转动调谐旋钮，就是改变电路的 ω₀。共振用得好是工具，不懂它而中招就是灾难。