矩阵四大子空间

拖动输入向量来看。这个矩阵是两列指向同一方向的扁矩阵，所以 det=0，绿色的列和橙色的列叠在一起。无论拖到哪里，输出 A x 只落在金色直线上。蓝色输入折到那条直线上。那条直线就是列空间。A x 终究是第一列的若干倍加上第二列的若干倍，也就是两列的组合，两列平行，组合能做出的就只有那个平行方向的直线。输出绝不能离开那条线。能够到达的全部结果被关在这条 1 维直线上。这就是像 (image)，也就是列空间。

在同一个扁矩阵上，这次看输入那边。另有死成 0 的输入。拖动蓝色输入，放到蓝色直线上时，输出 A x 恰好贴在原点。那条直线是零空间，列空间仍是金色虚线。沿那个方向进来的输入整根被压成 0，不留痕迹。只要稍微离开那条直线，输出马上跳上列空间。不是一个点，整条直线都去 0。所以 A x = 0 的解不是单独一个 x = 0，而是无穷多个。这个不是 0 的零空间，就是解为什么可以有很多个的钥匙。

现在用滑块把矩阵从活着的状态压成扁的状态。滑块放在一头，矩阵是完整的秩 2。单位正方形变成金色平行四边形，绿色的列和橙色的列指向不同方向。去 0 的输入只有 x = 0 一个，所以零化度是 0。把滑块转过去，让一列倒向另一列，两列变平行，det 走向 0，平行四边形压成一条线段。那一瞬间秩是 1，零化度是 1。因为整条直线都去 0。无论哪一边，秩加零化度总是 2。输入维数正好分成两份。活下来的维数秩是绿色的数，死去的维数零化度是蓝色的数，它们的和是金色，总等于进来的维数。这就是秩-零化度定理。

再看输入平面。不只是零空间，行空间也在输入这边。行空间是矩阵两行展开的方向，扁矩阵里它也是一条直线。打开两条直线，金色行空间和蓝色零空间恰好以 90 度相遇。两者是直角互补的一对。按下分解按钮，一个输入分成两块。A x 的每个分量是一行和输入的点积，输入若在零空间里，那个点积是 0，意思是这个输入垂直于每一行。所以每个输入向量都分成两块。行空间分量在输出里活下来，零空间分量消失成 0。保住的一半和杀死的一半以直角分开。

现在用四个子空间的图来解 A x = b。用滑块移动目标，答案就显出来。目标不在金色列空间直线上，就没有输入能到达那个目标，所以解是 0 个。把目标抬到列空间上，解忽然出现，而且不是一个。一个特解加上整个零空间，也就是沿蓝色虚线画的零空间方向平移的整条直线都是解，所以有无穷多个。特解是到达目标的一个输入，再怎么加上死成 0 的方向，输出都不变。假如零空间只有 0，完整秩的矩阵，解就恰好一个，那就是逆矩阵给出的答案。0 个、1 个和无穷个，这三支都直接从四个子空间的形状里出来。