线积分 是什么
设想穿过一片刮风的田野。风从背后推，脚步就轻。风从正面挡，脚步就重。把每一步上当地的风对前进方向帮了多少全部加起来，就是沿路得到的帮助的总和。这就是线积分 ∫ F·dr，也就是场沿路径做的功 (work)。奇怪的是，出发和到达相同，走的路不同，总和也可以不同。在某一种特别的场里，路完全无关。下面的图指出这个差别从哪里来。重力或均匀的电力站在路无关的一边，打转的风站在答案随路而变的一边。
在旋涡场里，蓝色的起点 A 和蓝色的终点 B 是固定的。拖动中间的金色点把路弯起来，沿路径做的功 W 就立刻重算。路上的每一小段，当地箭头帮着前进就涂成绿色，挡着前进就涂成橙色。顺着旋涡弯，整条路变成绿色，W 升到正值。逆着旋涡弯，整条路变成橙色，W 降到负值。同样从 A 到 B，W 却上下变化，所以只靠起点和终点定不了答案。图下方的金色数字就是这个功，弯路的时候它跟着变。
现在把从 A 到 B 的两条路并排放着。一条弧向高处绕，一条弧向低处绕。按下按钮切换当前的路，那条路变亮，另一条变淡，每条路的功和两者之差都以数字出现。场是打转的旋涡，所以连接同样两点，上路和下路的值并不相同。背景里淡淡的箭头，就是和第一张图同一种旋涡。这个差恰好等于把两条路接成的闭合圈转一圈的环量。在有旋度的场里，路径会改变答案，两个数字的差把它显示出来。
一点一点看线积分实际上是怎样积累的。这一次的场是始终向北吹的风，路是先拱起再落下的弧。用滑块 t 在曲线上选一个点，两支箭头同时出现。风的箭头是金色的，前进方向的单位切线是蓝色的，两者的点积 F·t̂ 就是这一刻的贡献。上坡时风推着背，F·t̂ 以正数积累。过了顶部进入下坡，逆着风走，F·t̂ 以负数削减。移动滑块，部分和在顶部达到最大，然后又变小。线积分就是把这些小的 F·t̂ 沿路全部加起来。
这里两种场分开了。按下按钮，差别立刻出现。保守场是某个势的梯度，所以从 A 到 B 的金色直线和蓝色绕行弧所做的功恰好相等。答案只是起点和终点之差，路无关紧要。换成旋涡场，两条路的值就分开。同样的两个点、同样的两条路，场的一个性质决定了一切。两个数字下面那一行，变成绿色并写着两值相等，或者变成橙色并写着两值不同，这就是保守场的标记。
最后自己走一遍，看功是怎样一段一段积起来的。还是向北吹的风，先拱起再落下的弧被分成短段。每按一次单步，就前进一段。已经走过的路变成金色，还没走的路保持暗淡。左边上坡，风推着背，加上正的功。过了顶部的右边下坡，逆着风走，削去负的功。刚走的那一段的符号会显示出来，下方的条在累计为正时是绿色，为负时是橙色。按复位就从头再走。线积分就是这样一个段一个段加下去的过程。