线积分是沿路径累积的功
想象你横穿一片有风的原野。风推着你的背时，每一步都白来；风迎面吹来时，你就得使劲。一步一步，把当地的风对你前进方向帮了多少都加起来，就得到沿路径所受帮助的总和。这就是线积分 ∫ F·dr：场所做的功（work），沿一条路线累积起来。奇妙之处在于：即便起点和终点相同，总和也会因走哪条路而不同。然而在某些特殊的场里，路径全然无关。这一讲展示这个差别从何而来。
在一个打旋的场里，把起点 A 和终点 B 固定住，然后拖动中间的金点来弯折路线。沿路径的功会立刻重新计算。路线上每一小段：当地箭头帮你前进就染成绿色，挡你就染成橙色。把路朝着与旋涡相同的方向弯，整条路就变绿，W 升为正；朝相反方向弯，整条路转橙，W 落为负。尽管都是从同一个 A 到同一个 B，W 却忽高忽低。这是第一个信号：只凭起点和终点定不出答案。
这次把从 A 到 B 的两条路并排放着：一条向上绕的大弧，一条向下绕的弧。按切换键改变激活的路线，它就亮起来，另一条则淡下去。每条路线的功以及两者之差以数字显示。因为这个场是个旋涡，连接同样两点的上路和下路给出的值并不相同。这个差恰好等于把两条路接成的闭合环绕一圈的环量。在旋转的场里，你亲眼看到路径改变了答案。
一点一点地看线积分究竟是怎么累积的。这回的场是一股稳定向北吹的风，路径是一条先升后降的弧。用滑块 t 在曲线上选一个点。在那里，风的箭头（金色）和指向你行进方向的单位切线（蓝色）一同出现，二者的点积 F·t̂ 就是那一刻的贡献。上坡时风从背后推你，F·t̂ 正向累加；越过顶点转入下坡，你逆着风走，于是被削减。推动滑块，会看到累计和在顶点处涨到最大，再缩回去。线积分说到底，就是把这些小小的 F·t̂ 沿路径全部加起来。
关键的对比来了。用切换键改变场的种类。保守场是某个势的梯度，所以从 A 到 B 走直线的路和走绕行的弧，两者所做的功恰好相等。答案只是起点与终点值之差，路径无关紧要（路径无关）。可一旦换成打旋的场，两条路的值就分开了（路径有关）。同样两点、同样两条路，可场的一个性质就决定了一切。看那盏"路径无关？"指示灯亮起又熄灭。这正是保守场的标志。
最后，亲自走一遍，看看功是怎样一段一段累积起来的。还是刚才那股向北的风，一条先升后降的弧被分成若干短段。每按一次单步按钮，就向下一段前进一格；走过的路变亮成金色，剩下的则保持暗淡。在左侧上坡，风从背后推你，加上正功；越过顶点到右侧下坡，你逆着风走，便减去负功。一个符号显示你刚跨过的那一段是加还是减，下方的条形把累计的功堆起来又回落。复位按钮让你从头再走一遍。你亲手确认：线积分说到底，就是这样一段一段累加的过程。