微分方程是一张斜率的地图
光是听到"微分方程"四个字，人就头疼。看到 y'=x−y 这样的式子，你会想："我连 y 是什么都不知道，它的导数却出现在方程里，到底从哪儿下手？"可起点出奇地简单。y' 就是曲线在那个点的斜率。所以 y'=f(x,y) 这个方程，是一张地图：它在平面的每个点都规定"在这儿，就以这个斜率穿过去"。在每个点画一支小箭头，整个平面就铺满了斜率箭头——方向场。求解，就是从某个起点出发，忠实地顺着这些箭头描出一条曲线。在背任何公式之前，先用眼睛看看微分方程画出的这张"流动地图"，其余的就容易多了。这一讲里，你会亲自顺着这张地图走一走。
先看微分方程画出的地图。我们用 y'=x−y。这个方程在平面的每个点 (x, y) 都规定了曲线在那里应有的斜率，也就是 x−y。在点 (2, 0)，斜率是 2；在 (0, 2)，斜率是 −2。所以只要在每个点沿那个斜率方向画一条短线，屏幕上就铺满了小斜杠。这就是方向场。拖动探针四处移移。点一变，那个位置的斜率怎么定下来，就以数字显示出来。我们还没求解。只是在看："从任意点出发该往哪个方向走"已经处处定好了。微分方程不直接把答案递给你——它递给你的是这样一份路线指引。
现在顺着这张地图走。点一个起点，朝箭头指的方向迈一步，在那儿读出新的斜率再迈一步——这样忠实地走下去，一条曲线就描了出来。那就是微分方程的解。拖动起点移移。曲线总是和斜杠平行，像河水顺着地形流淌一样顺着场流动。无论经过哪个点，曲线在那点的斜率都恰好是 x−y。你能看到，解不是什么神秘公式，而是"每一刻都朝规定方向流动留下的轨迹"。计算机求解微分方程的办法也正是这个：用小步子顺着箭头走。
一个方向场，解曲线不止一条——而是无穷多条。看屏幕：曲线像梳过的头发一样填满整个场。同一个微分方程，起点不同就跟着不同的曲线走。那这么多曲线里，哪一条是"我的答案"？这由初始条件来定。拖动 y 轴上的手柄，改变 y(0) 的值。"当 x=0 时 y 是多少"这一个条件，就从密密麻麻的曲线家族里精确地挑出一条。微分方程给你整个曲线家族，初始条件从中挑出一条。所以实际问题是"方程＋初始条件"成一套：知道了起点，往哪儿流才被钉成唯一的答案。
把最重要的一个方向场单独拿出来看：y'=ky，斜率正比于 y 自身的值。关键是"越多，变得越快"。y 大斜率就大，y 小斜率就小。拖动 k 看看。k 为正，你得到一条向上越来越陡、爆炸式增大的曲线，正是指数增长。k 为负，它渐渐变平、衰减向 0——指数衰减。解是 y=ekx。第 2 讲见过的那个 e，在这里自然地蹦了出来，因为"按自身的值成比例增长之物"的答案，正是指数函数。人口增长、放射性衰变、RC 电路的充放电、复利，全是 y'=ky 这一行。自然界里指数之所以那么频繁地出现，原因就是这个简单的方向场。
最后，看一种用手精确求解的方法：分离变量。看 y'=−xy 的方向场，箭头绕着原点转圈；解是一圈圈同心圆。怎么用代数确认呢？把 y' 写成 dy/dx，把变量分到两边，x 归 x、y 归 y：y dy = −x dx。变量这样分开后，两边就能直接积分。y²2 = −x²2 + C，整理一下就是 x²+y²=C——正是圆。按按钮把这个过程展开。方向场展示的"绕圈而行的流动"，被分离变量用 x²+y²=C 这个精确公式确认了。图（方向场）和算（分离变量）指向同一个答案。变量能干净分开的微分方程，就这样一次积分解出来。