方向场 微分方程
一听到“微分方程”几个字就头疼。看到 y'=x−y 这样的式子，连 y 是什么都不知道，里面却有 y 的导数，真不知道从哪里下手。可是起点出奇地简单：y' 就是曲线在那一点的斜率。所以 y'=f(x,y) 这个式子，是一张给平面上每一点都规定“从这里以这个斜率经过”的地图。在每一点画一条小短线，平面就布满了斜率标记，成为方向场。求解，就是从某个起点出发，忠实地顺着这些标记画出一条曲线。在背公式之前，先亲眼看看微分方程画出的这张流动地图，后面的内容就会容易得多。这一讲就亲手沿着这张地图走一走。
先看看微分方程画出的地图。以 y'=x−y 为例，这个式子在平面上每一点 (x, y) 规定曲线应有的斜率为 x−y。在点 (2, 0) 斜率是 2，在点 (0, 2) 斜率是 −2。在每一点都画一条沿该斜率方向的短线，屏幕上就铺满了小斜线，这就是方向场。拖动金色探针到处移动，那个位置的小斜线会变成粗的金色，下方用数字显示该点的斜率。这时还没有求出解。这一步只是看清：在任何一点，该往哪个方向走都已经确定了。微分方程并不直接给出答案，而是像这样给出指路的方向。
现在顺着这张地图走。点下一个起点，从那里朝小斜线指的方向走一步，在新位置读出新的斜率再走一步，这样忠实地走下去，就画出了一条曲线。这条曲线就是微分方程的解。拖动金色起点，曲线从这个点向前后延伸，始终与小斜线平行，就像河水顺着地形流淌一样沿着场流动。无论经过哪一点，曲线在那里的斜率都恰好是 x−y。可以看出，解并不是什么神秘的公式，而是每一刻都朝规定方向流动留下的轨迹。计算机解微分方程的方式也正是这样：用小步子顺着小斜线走。
一个方向场里的解曲线不止一条，而是无穷多条。屏幕上浅色的曲线像梳过的头发一样铺满整个场。同一个微分方程，起点不同，走的就是不同的曲线。那么，这么多曲线里哪一条是你的答案？由初始条件来决定。拖动纵轴上的手柄改变 y(0) 的值，“x=0 时值是多少”这一个条件，就从密密麻麻的曲线族中恰好挑出一条，用金色点亮。微分方程给出整个曲线族，初始条件从中挑出一条。所以在实际问题中，方程和初始条件是一套。只有知道起点，往哪里流才唯一确定。
单独来看最重要的一个方向场：y'=ky，斜率与 y 的值本身成正比。关键在于“越多变得越快”。值大斜率就大，值小斜率就小。在下方的轨道上拖动 k，k 为正数时，曲线越往上越陡，爆炸式地增大，这就是指数增长。k 为负数时，曲线越来越平，逐渐衰减到 0，这是指数衰减。解是 y=ekx。在复数那条线上见过的 e，在这里自然而然地冒了出来，因为“与自身成正比地增长”的答案恰好就是指数函数。人口增长、放射性衰变、RC 电路的充放电、复利，全都是 y'=ky 这一行。自然界中指数之所以频频出现，原因就在这个简单的方向场。
最后看一种用手精确求解的方法：分离变量。看 y'=−xy 的方向场，小斜线绕着原点打转，解是金色的同心圆。要用式子确认，就把 y' 写成 dy/dx，把 x 和 y 分别移到等式两边。y dy = −x dx。变量这样分开后，两边就可以直接积分。y²2 = −x²2 + C，整理后得 x²+y²=C，正是圆。按下下方的按钮，这个过程会一步步展开。分离变量用 x²+y²=C 这个精确公式，确认了方向场画出的绕圆流动。作为图像的方向场与作为计算的分离变量，指向同一个答案。变量能干净分开的微分方程，就这样一次积分便能解出。