欧拉法
微分方程告诉你，在每个点上朝哪个方向、以多快的速度变化，也就是斜率。那是方向场的斜率地图。大多数微分方程没有干净的公式解。欧拉的方法很单纯。在当前点读出斜率，沿那个方向直走短短的一步 (h)，到了新的点再读斜率，再走一步。重复下去，解曲线就画成折线。步子越短越靠近真解，但步数变多，计算也变多。这是精度和代价的拉锯。这一行是天气预报、游戏物理、火箭轨迹里几乎所有模拟的起点。图里的滑块选的就是这一步的长度。点越密，折线越靠近真解。
灰色斜线是方向场。每一处是微分方程在那个点规定的斜率。这里是 y'=y，按自身的值成比例生长，所以越往上斜线越陡。欧拉从起点沿斜线直线走一步，到了那一点再读斜线，再走一步，如此画出折线。真解是灰色曲线 ex。把步长 h 缩小，点变密，折线贴住曲线。把 h 加大，点变少，折线垂到曲线下方。直线跟不上曲线向上弯的样子。每一根斜线就是那一点的斜率。
只看同一个式子的终点。灰点是真值 e³≈20.1，金点是欧拉走到的值。两者之间的橙色条是累积的全局误差。把 h 滑块调大，条子和数字立刻窜高。这是截断误差的爆发。每一步直线稍稍偏离曲线的小误差堆起来，到终点就成了大差距。把 h 减半，误差也大约减半。欧拉是 1 次精度，误差与 h 成正比。条下方的带子越满，警报越响。
这一次的式子是 y'=cos x，真解是 sin x。解在振动，欧拉的弱点就显出来。h 大的时候，金色折线把灰色 sin 曲线的峰顶撑得更高，相位也略微落后。振动跟着走一个周期、两个周期，偏差就越积越多。把 h 缩小，两条曲线渐渐重合。同一个方法，误差的样子随解的性格而不同。比起平滑生长的解，快速弯曲、来回振动的解更需要短步。
现在是更棘手的情形。式子是 y'=−ky，真解是平缓收到 0 的衰减。欧拉每一步把 y 乘上 (1−hk)。当 h·k 超过 2，这个倍率的绝对值大于 1，真解走向 0，数值解却一边翻符号一边变大。它以红色爆发。在 1 和 2 之间，它以橙色振动着平息。小于 1，就以绿色安静地衰减。这不是精度问题，是稳定问题。把步子缩短，不只是为了精密，也是挡住发散的保险。在刚硬 (stiff) 的方程里尤其要紧。
不只有更小的步，还有更好的步。欧拉只信起点的斜率，然后直走。RK2，也就是中点法，先走一半，再量一次中间的斜率，用那个更好的斜率走完整的一步。计算量加倍，精度却上去了。用同一个 h 比较金色的欧拉和蓝色的 RK2，蓝色贴真解 ex 贴得紧得多。欧拉的误差是与 h 成正比的 1 次，RK2 是与 h² 成正比的 2 次，所以把步长减半，误差就变成 1/4。实务里的标准 RK4 把这个想法用四次，得到更高的精度。用小块去量面积的数值积分里，也是同一个原理。