欧拉法靠斜率一步步走
微分方程在每个点告诉你往哪个方向、变得多快（斜率）。这正是你在方向场那一讲见过的斜率地图。麻烦在于，绝大多数微分方程没有干净的公式解。那要怎么解？欧拉的答案简单得近乎粗暴：在你现在所在的点读出斜率，沿那个方向直走一小步（h），到新点再读斜率，再走一步。如此反复，就把解曲线画成一串小线段。步子越短越接近真解，但步数变多、计算变大。精度与成本的拉锯。这一行的想法，是从天气预报到游戏物理引擎、再到火箭轨迹，几乎所有仿真的起点。
灰色斜线就是方向场，是微分方程在每个点指定的斜率。这里方程是 y'=y，按自身大小成比例增长，所以越往上斜线越陡。欧拉从起点沿斜线直走一步，到达后再读斜线、再走一步，如此画出折线。真解是 ex（灰色曲线）。把步长 h 调小，点会变密，折线紧贴曲线。把 h 调大，点变稀，折线塌到曲线下方，因为直线段跟不上曲线向上翘的弧度。
只取同一方程的终点。灰点是真值 e³≈20.1，金点是欧拉到达的值。两者之间的红色竖条就是累积（全局）误差。把 h 滑块往上拖，竖条和数字会实时飙升。这就是截断误差的爆发：每一步直线都略微偏离曲线，这些小误差逐步累积，到终点就成了大差距。反过来，把 h 减半，误差也大致减半，因为欧拉是一阶精度，误差与 h 成正比。下方的条越满，警示越强。
这次的方程是 y'=cos x，真解是 sin x。因为解在振荡，欧拉的弱点暴露得很清楚。用大的 h，金色折线会把波峰抬得比灰色正弦曲线更高，相位也略微滞后。沿振荡走过一个周期、两个周期，偏差会不断累积。把 h 调小，两条曲线就逐渐重合。这里要学的是：同一种方法，误差的表现会随解的性格而不同。比起平滑增长的解，快速弯折、振荡的解更迫切需要小步长。
现在是真正吓人的情形。方程是 y'=−ky，真解是平滑衰减到 0 的过程。欧拉每一步把 y 乘以 (1−hk)。可一旦 h·k 超过 2，这个倍数的绝对值就超过 1，于是真解明明趋向 0，数值解却变号并越来越大。这就是爆发。介于 1 和 2 之间会一边振荡一边衰减；小于 1 则乖乖衰减。这不是精度问题，而是稳定性问题。这意味着缩小步长不只为了精确，也是防止发散的保险。对刚性（stiff）方程尤其关键。
除了更小的步子，有没有更聪明的步子？有。欧拉只信起点的一个斜率就直走。RK2（中点法）先走一半，在中点再测一次斜率，用这个更好的斜率迈出完整一步。计算量翻倍，但精度大涨。把金色（欧拉）和蓝色（RK2）在同样的 h 下对比：蓝色更贴近真解 ex。欧拉误差与 h 成正比（一阶），RK2 与 h² 成正比（二阶），所以步子减半，误差降到四分之一。实战标准 RK4 把这个想法用四次，达到 h⁴ 精度。下一讲会看到积分里也有同样的原理。