泰勒展开
曲线难处理，多项式好处理。泰勒的想法是先定一个点。在那个点上，多项式与曲线的高度相同、斜率相同、弯曲程度也就是 2 阶导数相同，再依次配上更高的导数。次数越高，它在那个点附近把曲线模仿得越忠实。sin、cos、ex 这样的超越函数，也可以写成无限相加的多项式，也就是幂级数，计算器就是用这个办法求值的。离开中心，近似就会垮掉。垮掉的大小是余项，也就是截断误差，这一组数值分析都在跟这个误差打交道。中心放在哪里，决定近似能用的区间。区间里面，多项式代替曲线。区间外面，余项会把答案弄坏。
把次数滑块往上推。次数 1 只是切线，也就是一条直线，很快就离开灰色曲线。次数升到 3、5、7，金色多项式就把 sin 曲线包得更宽。无论哪一次数，越靠近中心，这里是 0，吻合得越好，越往两端越脱落。多项式在远处必定发散。项加得够多，在屏幕上看得到的区间里，它就几乎和 sin 重合。
这一次把 ex 一项一项地累加。第一项是常数 1，接着是 x，然后是 x²/2、x³/6，每一项都是 xᵏ/k!。下方的条是 x=2 处各项的大小。起初变大，分母里的阶乘 (k!) 变大之后就迅速变小。所以部分和会收到一个值上。项越多，T(2) 越接近真值 e²≈7.39。在每一个 x 都这样收拢的函数是解析函数，ex、sin、cos 就是代表。收拢能到多远，也就是收敛半径，紧接着的下一讲再看。
橙色的条是 sin 和金色多项式之间的间隔，也就是误差。把探针 x 放在中心 0 附近，条几乎看不见。把探针拖向两端，过了某一处，条会突然变长。提高次数，吻合的区间变宽，区间之外仍然会爆开。泰勒近似里要紧的，是离中心有多远。决定误差的是这段距离，而不是对精度的自夸。所以中心要取在你真正关心的点附近。
次数为 1 的泰勒就是沿切线走一步。在一个点上量出斜率，沿那条直线前进 h，预测下一个值。绿色虚线是这个预测，曲线是真值。h 小的时候两者几乎重合，把 h 加大，橙色间隔就张开。这个间隔是 1 阶泰勒的余项，也就是截断误差。这一步正是欧拉法每一步在做的事。它接过微分方程的斜率，沿直线一步一步往前走。近似和数值分析是同一个根，多项式近似的余项就是数值方法的误差。
选一个函数即可。选 sin，把项数放在 1，就得到 sin x ≈ x。解摆和小晃动时用的小角近似就是它，角越小越吻合。cos 从 1 − x²/2 开始，ex 从 1 + x + x²/2 开始。计算器和计算机用这样的多项式再加上一点修正，来求 sin、cos、ex 和对数。只会乘法和加法的机器，就是这样处理超越函数的。定下需要的精度，就用那么多项。角度很小的摆里，这一行常常代替整条运动方程。