泰勒用多项式模仿曲线
曲线复杂，多项式好处理。泰勒的想法很简单：选定一点，造一个在那点与曲线高度相同、斜率相同、弯曲程度（二阶导）相同，依次匹配越来越多导数的多项式。阶数越高，就在那点附近越忠实地模仿曲线。连 sin、cos、ex 这样的超越函数，最终也能写成无穷多个多项式项之和（幂级数），计算器正是用这种方式求值。但一旦离中心太远，近似就会崩溃。崩溃的大小就是余项（截断误差），而这一组里的每一种数值方法，归根结底都是与这个误差搏斗的故事。
拉动阶数滑块。一阶只是切线（直线），很快就离开曲线。升到 3、5、7，多项式就在越来越宽的范围内拥抱正弦曲线。关键词是"靠近中心"。无论几阶，越靠近中心（这里是0）拟合越好，越往两端最终越会剥离，因为多项式在远处必然发散。但只要加够项，在你看到的整个区间里，它几乎与正弦无法区分。
这次把 ex 一项一项地累加。第一项是 1（常数），接着是 x，再是 x²/2、x³/6，每一项都是 xᵏ/k!。下方的柱是 x=2 处各项的大小：先变大，等分母里的阶乘（k!）发力后便迅速变小。这正是部分和会停在一个值上的原因。加项时，看 T(2) 如何逼近真值 e²≈7.39。像这样在每个 x 都收拢的函数叫解析函数，ex、sin、cos 就是代表。下一讲要问的是收拢能延伸到多远（收敛半径）。
红色竖条是正弦与多项式之间的间隔，也就是误差。把探针 x 放在中心0附近，竖条几乎看不见。但把探针拖向两端，过了某处，竖条会突然变长。提高阶数会拓宽拟合良好的区段，可一旦越出，误差照样爆发。用泰勒近似时最关键的直觉就是：决定误差的不是抽象的"有多准"，而是"离中心有多远"。所以实战中，会把中心取在你真正关心的点附近。
只迈出一阶泰勒的一步，也就是切线。在某点测出斜率，沿那条直线前进 h，去预测下一个值。虚线是这个预测，曲线是真值。h 小时两者几乎一致，但 h 一大，红色间隔就张开。这个间隔就是一阶泰勒的余项，即截断误差。而这恰恰是欧拉法（本组第5讲）每一步所做的：从微分方程取得斜率，再用直线一步步前进。所以近似与数值分析同根同源，多项式近似的余项，正好变成数值解法的误差。
选一个函数。选 sin 并把项数设为 1，就得到 sin x ≈ x。这正是物理里解单摆和小幅振动时常用的小角近似，角越小越准。余弦从 1 − x²/2 开始，ex 从 1 + x + x²/2 开始。计算器和计算机就是用这类多项式（再加一点修正）来求 sin、cos、ex 和对数。这就是只会乘法和加法的机器能处理超越函数的诀窍。原则始终如一：定好你需要的精度，就花相应数量的项。