样本空间 是什么
一说到概率，人们通常先想到公式：数出情况数，再用分数去除。可是，看待概率还有一种直观得多的方法：把它看成面积。设想把所有可能的结果摊开在一块板上。整块板就是样本空间，面积为 1，也就是 100%，因为不管发生什么，都必定发生在这块板上。于是，某个事件就成了板上的一部分区域，它发生的概率就是这块区域在板上所占的面积。占一半，概率就是 0.5；占 4 分之 1，就是 0.25。在这一幅图上，概率的几乎所有规则，并集与交集、对立事件、条件概率、独立，都化成了面积的加、减和切分。与其背公式，不如用眼睛看面积。这一讲亲手画出这块板，把概率当作面积来摸一摸。
先把板做出来。所有可能结果的集合叫作样本空间，通常写作 Ω。掷两颗骰子，结果从 (1,1) 到 (6,6)，共 36 种。图中每一个金色小格就是一个结果，它们发生的可能性都一样，所以各自的概率是 136。把 36 格全部加起来是 1，因为总会掷出点什么。不过，结果并不总是可以一个个数的。像在 0 和 1 之间随便挑一个实数那样，结果也可能是连续的。这时，样本空间不再是小格，而要看成整块区域，比如单位正方形。按下“连续”标签，小格就换成了均匀散布在正方形里的点。无论可数还是连续，核心都一样：Ω 是装着所有可能结果的板，它的总概率永远是 1。这个“总和为 1”，就是一切计算的起点。
现在来看事件。事件是我们关心的那些结果的集合，比如两颗骰子之和为 7。在板上，事件只是一块区域，它发生的概率就是这块区域在整块板上所占的面积。总面积已经定为 1，所以区域的面积就是概率。拖动金色的角改变事件 A 的大小：盖住板的一半时，P(A) 是 0.5；只盖住 4 分之 1 时，是 0.25。是不是真的这样，可以用点来检验。撒在板上的许多点里，落在 A 里面的会变成金色，它们所占的比例与面积并排显示在下方，两个值总是很接近。这就是蒙特卡罗方法，也是计算机求复杂概率的实际做法。把概率看成面积，或看成落进区域的点所占的比例，抽象的数字就成了看得见的面积。
既然事件是区域，组合事件也就是组合区域。让两个事件 A 和 B 叠在一起，逐个按下按钮。A 或 B，也就是并集 A∪B，是两块区域合起来的面积。只是重叠部分不能算两次，所以 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)，把重叠的部分减掉一次。A 且 B，也就是交集 A∩B，是两块区域重叠部分的面积，即两者同时发生的情况。对立事件 Aᶜ 是从整块板中去掉该事件后剩下的部分，所以 P(Aᶜ) = 1 − P(A)。选中的区域会被涂色，下方把它的面积作为概率写出来。用话说起来让人糊涂的“或”“且”“非”，在图上不过是把区域合起来、叠起来、挖掉而已。韦恩图的存在不是没有道理的：概率的逻辑，其实就是面积的几何。
现在来看最让人糊涂、却也最强大的概念：条件概率。已知 B 发生时 A 发生的概率，写作 P(A|B)。用图来看就非常简单。“B 发生了”这条信息，把我们的整个世界缩小成了 B。B 外面的事情没有发生，所以干脆从舞台上撤掉。打开开关，B 外面就会变暗，板缩成了 B。在缩小后的新世界 B 里，事件只占 A∩B 那一部分。所以 P(A|B) = 面积(A∩B)面积(B)，即用新的全体 B 去除交集。分母只是从概率为 1 的全体 Ω 换成了 P(B)。条件概率，就是把全体重新取为 B，再重新度量概率。有了新信息就缩小样本空间重新计算，这正是贝叶斯推断和一切统计学习的种子。
最后是独立。两个事件独立，是说知道其中一个发生了，另一个的概率也不变：P(A|B) = P(A)。“B 发生了”这条信息，对 A 没有增加任何东西。用图来构造是这样的：用绿色竖线把板分开，把左边的条带叫作 A，P(A) 就是这条带的宽度；用橙色横线分开，把下边的条带叫作 B，P(B) 就是这条带的高度。拖动两条线，两者同时发生的区域 A∩B 就是左下角的金色长方形，面积等于宽乘高，也就是 P(A) × P(B)。这就是独立的核心：P(A∩B) = P(A) · P(B)，只要相乘。横向和纵向彼此毫不干扰，所以交集的面积就是两条边的乘积。像抛两次硬币、或两个互不相关的零件发生故障那样，一方对另一方没有影响时，概率直接相乘。独立是最令人感激的假设：它让概率计算一次乘法就结束。