复数相乘就是旋转加放大
复数 a+bi，第一次见你会想"i 到底是什么"。可一旦把复数从数轴上挪到平面上的一个点，忽然就讲得通了。横轴是实部，纵轴是带着 i 的虚部。于是 a+bi 不过是坐在 (a, b) 处的一个点。而真正的魔法在这儿：乘法。在实数轴上，乘是"拉长"。在复平面上，乘是"边转边拉"。尤其乘以 i，正好转90度。这一个事实，就成了交流电、信号的波、一切旋转之物的语言。这一讲里，你会把复数看成平面上的点，亲手转一转，体会乘法为什么就是旋转。
先把复数安到平面上。抓住点，往哪儿拖都行。横着走了多少就是实部 a，竖着走了多少就是虚部 b。虚线落到两条轴上，替你点出 a 和 b。右上方，a 和 b 都为正；左下方，都为负。一个复数就是平面上的一个点，平面上的一个点就是一个复数。实数，不过是住在横轴上的特殊情形。i 就看成往上一步，也就是纵轴的方向。把复数不当"数"、而当"平面上的位置"来看，这一步，就是解开其余一切的钥匙。
现在来看乘以 i 会发生什么。放一个点，按"乘以 i"按钮。每按一次，点就绕着原点正好逆时针转90度。长度不变，只有方向转了90度。从 1 开始，就是 1 → i → −1 → −i，然后又回到 1。按四次回到原处——乘以 i 就是转90度，四次就是360度，转了一整圈。乘 i 两次就是180度，那正是 i²=−1。"为什么 −1 是 i 的平方"，就变成了"转半圈就到了对面"这幅图。这一讲那句"乘法就是旋转"，由 i 自己演示得最干净。
不只是 i。乘以任何复数，都是旋转加放大。把两支箭头 z₁、z₂ 各自拖一拖。它们的积 z₁z₂ 也一起画出来。规则就两行：角度相加，长度相乘。若 z₁ 在30度、长2，z₂ 在40度、长1.5，那积就在70度、长3。所以"相乘"就是"把一支箭头按另一支的角度再多转一些，按它的长度再多拉一些"。i 是长1、角90度，所以乘以 i，长度不变（×1），角度只 +90度。上一块里那个90度旋转，原来一直是这条一般规则的一个特例。乘法不用背，把它看成一边转一边拉的动作就行。
如果角度和长度才是乘法的真正主角，那从一开始就用这两个来写复数岂不更好。这就是极形式。拖动点，两个数就跟着来：原点到点的距离 r，以及从横轴量起的角度 θ。你原来叫 a+bi 的同一个点，现在叫 r∠θ。两者用 a=r cos θ、b=r sin θ 互换。为什么非要换？因为乘法在极形式下变得毫不费力。r₁∠θ₁ 乘 r₂∠θ₂，就是 (r₁r₂)∠(θ₁+θ₂)。长度相乘，角度相加——前面那条规则浓缩成了一行。只要旋转是关键，r∠θ 就远胜 a+bi。而下一讲的 eiθ，正是把这个极形式压成了一个符号。
最后，再揣上两样：共轭和大小。拖动点 z，一个以横轴为镜、上下翻转的点就跟着动。那就是共轭 z̄。a+bi 的共轭是 a−bi，只把虚部的符号一翻。在图上，就是关于实轴的镜像。而原点到 z 的距离就是大小 |z|，那条点线圆的半径。由勾股定理，|z|=√(a²+b²)。共轭和大小是一对：z 乘 z̄，角度是 θ 与 −θ，相加为0，长度是 |z|·|z|，即 z·z̄=|z|²。旋转被精确抵消，只剩下纯粹的长度平方。这个 |z|²，往后量交流功率或信号强度时，会原封不动地出现。