复数乘法 旋转
复数 a+bi，第一次见到时，最先卡住的是 i 到底是什么。可是把复数从数轴上的点挪到平面上的点，一下子就说得通了。横轴是实数，纵轴是带 i 的虚数。于是 a+bi 不过是落在 (a, b) 位置上的一个点。真正的魔法发生在乘法上。在实数里，乘法是拉伸；在复平面上，乘法是边旋转边拉伸。尤其是乘以 i，点会恰好转 90 度。这一个事实，成了交流电、信号波动以及一切旋转之物的语言。这一讲在平面上亲眼看复数，并亲手转动它，弄清乘法为什么是旋转。
先把复数放到平面上。抓住金色的点随意拖动，横向走了多少就是实部 a，纵向走了多少就是虚部 b。从点向两条轴画下的绿色和橙色虚线标出这两个值，下方也写着同样的数。在右上方，a、b 都是正数；在左下方，两者都是负数。一个复数就是平面上的一个点，平面上的一个点就是一个复数。实数是这个平面上只住在横轴上的特殊情况，而 i 可以看成从原点向上走一格，也就是纵轴的方向。把复数看成平面上的位置而不是一个数，这一步就是解开其余一切的钥匙。
现在来看乘以 i 会发生什么。放一个点，按下“乘以 i”按钮，点就绕原点恰好逆时针转 90 度。长度不变，只有方向转了 90 度。从 1 出发，依次是 1 → i → −1 → −i，然后又回到 1。虚线圆上标出了这四个位置，只有点当前所在的位置会亮成金色。按四次回到原处，是因为乘以 i 就是转 90 度，四次就是 360 度，正好一圈。乘两次 i 是 180 度，这正是 i² = −1。“为什么 −1 是 i 的平方”这个疑问，变成了“转半圈就到对面”这幅图。乘法就是旋转，这一讲的这句话，i 表现得最干净利落。
不只是 i，乘以任何复数都是旋转加缩放。分别拖动绿色箭头和橙色箭头，两者的乘积就以金色箭头同时画出来。规则只有两句：角度相加，长度相乘。下方两行写出当前两支箭头的角度之和与长度之积。比如第一支在 30 度、长度 2，第二支在 40 度、长度 1.5，那么乘积就在 70 度、长度 3。相乘就是把一支箭头再转过另一支的角度，再拉长另一支的长度那么多倍。i 的长度是 1、角度是 90 度，所以乘以 i 时长度不变 (×1)，角度只加 +90 度。前面看到的 90 度旋转，原来只是这条一般规则的一个特例。乘法不必死记，把它看成旋转和拉伸的动作就行。
既然角度和长度才是乘法真正的主角，不如一开始就用这两者来写复数。这就是极坐标形式。拖动点，两个数会一起跟着变：原点到点的距离 r，以及从横轴量起的角度 θ。图中虚线圆的半径就是这个距离，原点旁的金色圆弧就是这个角度。同一个点不叫 a+bi 而叫 r∠θ，两种写法通过 a=r cos θ、b=r sin θ 互相转换，下方一行写出这些值。之所以要换写法，是因为乘法在极坐标形式下变得非常简单。r₁∠θ₁ 乘以 r₂∠θ₂ 就是 (r₁r₂)∠(θ₁+θ₂)。“长度相乘、角度相加”的那条规则，变成了一行公式。在旋转很重要的问题里，r∠θ 比 a+bi 方便得多。下一讲的 eiθ，正是把这个极坐标形式压缩成了一个符号。
最后再掌握两样东西：共轭和模。拖动金色的点，以横轴为镜子上下翻转的蓝色点会一起移动，那就是共轭 z̄。a+bi 的共轭是 a−bi，只是把虚部的符号换了。从图上看，就是关于实轴的镜像反射。原点到点的距离是模 |z|，也就是虚线圆的半径，由勾股定理得 |z|=√(a²+b²)。共轭和模是一对。用 z 乘以 z̄，角度 θ 和 −θ 相加得 0，长度是 |z|·|z|，即 z·z̄=|z|²。旋转恰好抵消，只剩下纯粹的长度平方。下方一行可以直接读出这个值，而这个 |z|² 以后在计算交流功率或信号强度时会原样出现。