信号与系统与控制

连续/离散、周期/非周期。把候选标签叠在信号上，用两个独立问题确定其种类。

冲激 · 阶跃 · 指数。阶跃是冲激的累积，冲激是阶跃的导数。扫动积分上限，看阶跃逐步累积。

时间平移 · 缩放 · 反转。用两个滑杆把信号叠到目标波形上，学会由内而外读 x(at − b)。

每个信号都唯一地分成偶分量与奇分量之和。把信号与自身反转叠合取出两块，并区分能量信号与功率信号。

线性 · 时不变 · 因果。调小非线性，找出两条路径叠合的瞬间，确认线性性即叠加，并引向 LTI。

LTI 系统由它对单个冲激的响应 h(t) 完全确定。移动冲激的幅度与位置，看到输出始终是 h 的复制。

卷积把响应翻转、滑动，再与输入相乘量出重叠面积。移动滑动位置，看重叠描出输出曲线。

在分界点把时间分成区间，并在每个区间对乘积积分。看两个矩形脉冲逐段卷成三角形。

稳定与因果写在冲激响应 h 的形状里。移动衰减率，看到累积 |h| 面积触及天花板之时即为稳定。

阶跃响应是冲激响应的累积积分，求导即可还原。增大时刻，看 s 趋于终值(直流增益)。

周期信号是基频整数倍谐波之和。增加谐波项数，看部分和重建方波以及吉布斯现象。

频谱是信号在频率轴上的样子。用频率滑杆移动正弦波的谱线，看到时间与频率是一对。

把周期拉到无穷，离散谐波线融成连续频谱。移动脉冲宽度，看矩形 ↔ sinc 的时间·频率倒数关系。

时域卷积变成频域乘法。移动 h 的宽度，看 y=x∗h 与 Y=X·H 一起变化的卷积定理。

频率响应 H(ω) 的幅值是增益，相位是延迟。提高输入频率，看输出正弦波变小并滞后的通带与阻带。

伯德图把幅值画成 dB、频率画成对数轴，把曲线拉成直线渐近线。移动拐角频率，看 −20dB/十倍频斜率。

滤波是把频谱乘以滤波器。用类型按钮和截止滑杆把通带对到目标频带，看带宽与四种滤波器。

拉普拉斯变换在傅里叶上加收敛因子 e^(−σt)，把 jω 拓宽为 s=σ+jω。移动 σ，看增长信号收敛的 ROC。

s 平面上极点的位置就是系统的行为。用 σ·ω 两个滑杆移动极点，看左半面稳定、右半面发散。

传递函数 H(s)=输出/输入 是系统本身。移动系数，看微分方程、H(s)、极点、冲激响应如同一体地一起动。

串联相乘、并联相加、反馈为 H/(1+HG)。提高反馈增益，把不稳定对象的极点移到左半面而稳定。

极点位置定下响应形状。一阶是带时间常数 τ 的指数，二阶由 ζ 与 ωn 分成过、临界、欠阻尼。调 ζ，无过冲而最快稳定。

要从采样重建连续信号，采样率必须高于最高频率的两倍（奈奎斯特）。移动采样率，观察混叠与可恢复的条件。

折叠频率 fs/2 是镜子。高于它的真实频率折叠成更低的幻象 |f − fs·round(f/fs)|。提高 f，看折叠三角波与车轮、摩尔纹、音高失真。

离散信号的拉普拉斯变换。一步延迟 = 乘以 z⁻¹，故极点 z = r·e^(jθ) 定下模式 rⁿ cos(θn)。稳定边界是单位圆（|z|<1）。移动 z 平面极点。

离散 LTI 由一个冲激响应 h[n] 确定，输出是离散卷积 Σ h[k]x[n−k]。用平滑强度拉长 h[n] 削噪。FIR、IIR 与单位圆稳定。

DTFT 是离散信号的频谱（单位圆上的 z 变换），DFT 是在 N 点采样的可计算版（FFT）。信号频率对准频点是一个尖峰，错开则频谱泄漏。

不解极点，仅凭特征方程系数判定稳定。劳斯表第一列符号变化数 = 右半面极点数。移动增益 K，看极点越过虚轴的边界。

闭环极点（1+KG=0 的根）随增益 K 变化在 s 平面描出的路径，从开环极点奔向零点、越过虚轴。把极点放到目标 ζ=0.5 线上读出设计增益。

在开环波特图上，把到失稳（−1 条件）的距离读作相位裕度与增益裕度。移动增益 K，看两者在 K=6 变为零（与 F1、F2 相同的边界）。

把开环 L(jω) 画在复平面上，用环绕 −1 的圈数判稳（Z=N+P）。移动增益 K，看 −K/6 交点越过 −1、曲线环绕 −1（K=6 边界）。

给对象 G=1/((s+1)(s+2)) 套上 PID 控制器 u=Kp·e+Ki·∫e+Kd·de/dt，塑造阶跃响应。仅比例会留下稳态误差，积分将其化为零，微分抑制振荡。移动三个增益，调出又快、又准、又平滑的响应（闭环特征式 s³+(3+Kd)s²+(2+Kp)s+Ki）。

在与 F1 至 F4 相同的对象中插入补偿器 C(s)=(1+αTs)/(1+Ts)，塑造波特图的相位与增益。超前（α>1）在 ω_m=1/(T√α) 处把相位抬高 φ_max=asin((α−1)/(α+1))，增大相位裕度（像微分项）；滞后（α<1）抬高低频增益、减小稳态误差（像积分项）。移动 α 与 ω_m，把峰对准交越频率，将 PM 从约 11° 抬到健康值。

用终值定理 e_ss=lim_{s→0} s·R/(1+L) 读出闭环留下的误差。用输入（阶跃、斜坡、抛物线）与系统型别（0、1、2 型 = 原点极点数）按钮及增益 K 塑造跟踪误差 e(t)：型别高于输入阶次时为零，相等为有限（1/(1+Kp)、1/Kv、1/Ka），更低则发散。1 型 K/(s(s+1)(s+2)) 即 F1 至 F6 的对象。控制章节收官。