SC · 采样与离散

z 变换

z 变换是离散信号的拉普拉斯变换。把一步延迟收进 z⁻¹，将序列变成 z 的函数，于是一个极点就定下响应。在 z 平面上移动极点，看离散响应在单位圆内衰减、在圆外发散。

把极点移入单位圆使其衰减

左侧是 z 平面，× 标出一对极点 z = r·e^(±jθ)。绿色圆盘是稳定的单位圆内部，其边界圆区分稳定与不稳定。下方是该极点产生的离散响应 x[n] = r^n cos(θn) 的杆状图。用两个滑杆移动极点的半径 r 与角度 θ，把极点拉入单位圆内，使响应衰减到 0。r 是距离，θ 是振荡快慢。

z 平面 (× = 极点, 圆 = 单位圆)

离散响应 x[n] = r^n cos(θn)

半径 r1.12

角度 θ0.90 rad

极点位置与离散响应

|z| = 1.12 · θ = 0.90 rad

x[n] = 1.12^n cos(0.90 n)

极点在单位圆外，故 |z| = r 大于 1。离散响应 r^n cos(θn) 的幅度每一步都增大而发散。极点在圆外，是不稳定系统。

不稳定（圆外）

z⁻¹ 是一步延迟

z 变换把离散信号 x[n] 收成 X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ。正如连续的拉普拉斯以 e^(st) 为基，离散以 zⁿ 为基。关键性质是延迟。把信号后移一步，x[n−1] ⟷ z⁻¹ X(z)，即乘以一次 z⁻¹。于是差分方程 y[n] = a·y[n−1] + x[n] 变成代数式 Y(z)(1 − a z⁻¹) = X(z)，得到传递函数 H(z) = Y/X = 1/(1 − a z⁻¹) = z/(z − a)。正如微分方程化为 s 的代数，差分方程化为了 z 的代数。

观察delay x[n−1] ⟷ z⁻¹ X(z)

一步延迟即乘以 z⁻¹。

选择pole at z = r : mode = ?

半径 r 的极点给出模式 rⁿ。

填空stable ⟺ | pole | ?

稳定即所有极点在单位圆内。

自己来pole angle θ ⟹ oscillation cos(?)

角度 θ 是每步的振荡。

极点决定的离散模式

H(z) = z/(z − a) 的极点是使分母为零的 z = a。这个极点产生的自然响应是 aⁿ，即每一步乘以 a 的序列。若极点为复数 a = r·e^(jθ)，响应便取 rⁿ cos(θn) 的形式。半径 r 是幅度每步相乘的比率，r < 1 则减、r > 1 则增。角度 θ 是每步转过的相位，即振荡频率。θ 为 0 时是无振荡的单纯增减；θ 越接近 π，振荡越快，每步变号。这相当于连续的 e^(σt)cos(ωt) 中 σ 移到 r、ω 移到 θ。

虚轴变成单位圆

离散系统当所有极点都在单位圆内（|z| < 1）时稳定。只要有一个极点在圆外，该模式 rⁿ 就发散；在圆上则不消失地振荡，即临界。连续时间里稳定的左半面，在离散时间里变成了单位圆内部。两者由 z = e^(sT) 相连（T 是采样间隔）。把 s 平面的虚轴 s = jω 代入，得 z = e^(jωT)，即半径 1 的单位圆。左半面（σ < 0）映到 |z| = e^(σT) < 1，落在圆内；右半面映到圆外。采样把 s 平面卷起来贴到单位圆上。所以 D2 中见过的极点故事在离散时间里照样重演，只是边界从直线变成了圆。

回到第一屏

把极点半径 r 取到大于 1，极点便在单位圆外，离散响应 rⁿ 的幅度每步增大而发散；把 r 拉到 1 以下，极点进入圆内，响应衰减到 0。把 r 恰好设为 1，它在圆上以相同大小永远振荡。角度 θ 越大，每步转得越多，振荡越快。极点到原点的距离 r 是衰减速度，角度 θ 是振荡频率。连续 s 平面里见过的故事，仅把稳定边界从虚轴换成单位圆，便在离散时间里照样重演。

z 变换 X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ 是离散信号的拉普拉斯变换。由于一步延迟 = 乘以 z⁻¹，差分方程化为 z 的代数，传递函数 H(z) = z/(z − a) 的极点 z = a 定下自然模式 aⁿ。复极点 a = r·e^jθ 时响应为 rⁿ cos(θn)：r 是衰减比率（r<1 衰减），θ 是每步的振荡。所有极点在单位圆内（|z|<1）即稳定，圆上临界，圆外不稳定。连续的左半面经 z = e^sT 对应到单位圆内。D2 的极点故事仅把边界换成单位圆而重演。

进入下一单元

现在你能把离散信号当作 z 的代数处理，并从极点读出响应。下一单元离散 LTI 系统用这套工具考察真实的数字系统。差分方程 y[n] = b·x[n] + a·y[n−1] 是把输入样本与过去输出相混的数字滤波器，它与冲激响应的离散卷积产生输出。连续时间的卷积（B 章）与冲激响应，在积分变为求和后，于离散时间中照样复活。极点与零点则在单位圆上直接显示该数字滤波器保留哪些频率、抑制哪些频率。