SC · 采样与离散

z 变换

z 变换是面向离散信号的拉普拉斯变换。把延迟一拍归结为 z⁻¹，把序列变成 z 的函数，一个极点就决定了响应的形状。本讲中你将在 z 平面上移动极点，亲眼看到极点在单位圆内时离散响应衰减、在圆外时发散。

把极点移入单位圆使其衰减

上图是 z 平面，两个金色 × 是一对极点 z = r·e^(±jθ)，从原点连到极点的虚线就是半径 r。涂成绿色的圆盘是稳定的单位圆内侧，它的边缘即单位圆把稳定与不稳定分开。下图用竖条画出这对极点产生的离散响应 x[n] = rⁿ cos(θn)，从 n = 0 到 22。开始时 r = 1.12、θ = 0.9 rad，极点在圆外，竖条每一拍都变大，最后冲出图外。减小半径 r，把极点拉进单位圆，响应就衰减到 0；改变角度 θ，每一拍转过的量，也就是振荡的快慢，随之改变。

z 平面 (× = 极点, 圆 = 单位圆)

离散响应 x[n] = r^n cos(θn)

半径 r1.12

角度 θ0.90 rad

极点位置与离散响应

|z| = 1.12 · θ = 0.90 rad

x[n] = 1.12^n cos(0.90 n)

极点在单位圆外，|z| = r 大于 1。离散响应 rⁿ cos(θn) 的振幅每一拍增大为 r 倍，发散。这是极点位于圆外的不稳定系统。

不稳定（圆外）

z⁻¹ 是一步延迟

z 变换把离散信号 x[n] 归结为 X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ。正如连续时间的拉普拉斯变换以 e^(st) 为基底，离散时间以 zⁿ 为基底。最重要的性质是延迟。把信号推迟一拍得到 x[n−1] ⟷ z⁻¹X(z)，也就是乘一次 z⁻¹。所以差分方程 y[n] = a·y[n−1] + x[n] 变成关于 z 的代数式 Y(z)(1 − a z⁻¹) = X(z)，传递函数为 H(z) = Y/X = 1/(1 − a z⁻¹) = z/(z − a)。正如微分方程变成了 s 的代数，差分方程变成了 z 的代数。

观察延迟 x[n−1] ⟷ z⁻¹ X(z)

延迟一拍就是乘以 z⁻¹。

选择极点 z = r : 模态 = ?

半径为 r 的极点产生模态 rⁿ。

填空稳定 ⟺ | 极点 | ?

稳定要求所有极点都在单位圆内。

自己来极点角度 θ ⟹ 振荡 cos(?)

角度 θ 决定每一拍转过的振荡。

极点决定的离散模式

H(z) = z/(z − a) 的极点是使分母为 0 的 z = a。这个极点产生的自然响应是 aⁿ，即每一拍都乘以 a 的序列。若极点是复数 a = r·e^(jθ)，并与共轭极点成对，响应就形如 rⁿ cos(θn)。半径 r 是振幅每一拍所乘的比例，r < 1 时缩小，r > 1 时增大；角度 θ 是每一拍转过的相位，决定振荡的快慢。θ 为 0 时不振荡，只是单纯地减小或增大；θ 越接近 π，就越接近每一拍都变号的最快振荡。相当于把连续时间 e^(σt)cos(ωt) 中的 σ 搬到了 r = e^(σT)，把 ω 搬到了 θ = ωT。

虚轴变成单位圆

当所有极点都在单位圆内(|z| < 1)时，离散系统稳定。只要有一个极点在圆外，它的模态 rⁿ 就会发散；在圆上则是不会消失、一直振荡的临界状态。连续时间中以左半平面为稳定，到了离散时间就变成了单位圆内侧。两者通过 z = e^(sT) 联系起来(T 是采样间隔)：把 s 平面的虚轴 s = jω 代入此式，得到 z = e^(jωT)，即半径为 1 的单位圆。左半平面(σ < 0)的 |z| = e^(σT) < 1，因而移到圆内；右半平面则移到圆外。采样把 s 平面卷起来贴到了单位圆上，所以在 D2 单元看到的极点故事，在离散中照样重演，只是边界从直线变成了圆。

回到第一屏

在第一屏把极点半径 r 设得大于 1 时，极点在单位圆外，离散响应 rⁿ 的振幅每一拍增大而发散；把 r 拉到 1 以下，极点进入圆内，响应衰减到 0。把 r 正好调到 1，极点落在圆上，响应以相同大小一直振荡。角度 θ 越大，每一拍转得越多，振荡越快。原点到极点的距离 r 决定衰减的快慢，角度 θ 决定振荡的快慢。在连续时间 s 平面上看到的故事，只是把稳定边界从虚轴换成了单位圆，就在离散中原样重演。

z 变换 X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ 是面向离散信号的拉普拉斯变换。延迟一拍 = 乘以 z⁻¹，所以差分方程成为 z 的代数，传递函数 H(z) = z/(z − a) 的极点 z = a 决定自然模态 aⁿ。若为复极点 a = r·e^jθ，响应为 rⁿ cos(θn)，其中 r 是每一拍所乘的比例(r < 1 时衰减)，θ 是每一拍转过的振荡。所有极点都在单位圆内(|z| < 1)则稳定，在圆上为临界，在圆外为不稳定。连续时间的左半平面通过 z = e^sT 对应到单位圆内，D2 单元的极点故事只是把边界换成单位圆后重演。

进入下一单元

现在我们可以把离散信号当作 z 的代数来处理，并从极点读出响应。下一单元 离散 LTI 系统 将用这个工具研究真实的数字系统。差分方程 y[n] = b·x[n] + a·y[n−1] 是一个把输入样本和过去输出混合起来的数字滤波器，它的冲激响应与输入的离散卷积产生输出。连续时间的卷积(B 章)和冲激响应，只是把积分换成求和，就在离散中原样复活。把极点和零点的位置与单位圆对照，就能立刻读出这个数字滤波器保留哪些频率、抑制哪些频率。