SC · 信号基础

信号的偶·奇分解

任何信号都能以唯一的方式分成左右对称的偶分量与关于原点对称的奇分量之和。把信号与自身的反转叠在一起取出这两部分，顺带学会用能量和功率来衡量信号的大小。

把偶与奇合起来复原原信号

金色虚线是原信号 x(t)，一个中间隆起的钟形向右倾斜。用选项卡切换分量就会看到：左右对称的偶分量（蓝）单独无法表现这种倾斜，必须加上奇分量（绿），原信号才能准确复原。

点击选项卡切换分量。

所选分量与公式

xₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

偶分量是信号与其反转的平均，所以左右对称。它无法表现原信号的倾斜程度，只能对上一半。

一半

把信号与自身反转叠合

偶函数满足 x(−t) = x(t)，关于纵轴镜像对称；奇函数满足 x(−t) = −x(t)，关于原点中心对称。任意信号与其反转 x(−t) 相加后取一半，只剩下对称分量；相减后取一半，只剩下反对称分量。图中的原信号是钟形 g(t) 乘以 (1 + 0.8t)，所以偶分量是 g(t)，奇分量是 0.8t·g(t)。

观察xₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

偶是与反转相加再取半。

选择xₒ = [x(t) ?] / 2

奇是减去反转再取半。

填空x(t) = xₑ ? xₒ

偶加奇即原信号。

自己来E = ?

总能量是 |x|² 的积分。

偶加奇永远是原信号

两式相加得 [x(t) + x(−t)]/2 + [x(t) − x(−t)]/2 = x(t)，反转项相互抵消，原信号准确复原。所以任何信号都能以唯一的方式写成偶分量与奇分量之和。这种分解常常能缩短计算，因为奇函数在 −T 到 T 的对称区间上积分为 0。

按大小划分：能量还是功率

信号的大小用两把尺子来量。总能量 E = ∫|x(t)|² dt 有限时是能量信号，此时平均功率为 0。旁边小图中金色那样逐渐消失的脉冲就属于这一类，其面积 ∫e^(−t²) dt = √π ≈ 1.77 就是能量。反过来，蓝色曲线那样的周期信号无休止地持续下去，E = ∞，但平均功率 P 有限，称为功率信号。蓝色曲线是 cos²(2.5t)，所以它的平均高度 0.5 正是 P。一个信号不可能两者都是，也有像不断增长的斜坡 t 那样两者都不是的信号。

回到第一屏

偶分量单独是左右对称的，所以只能对上倾斜原信号的一半。加上奇分量后，反转项相互抵消，金色虚线的原信号准确复原了。任何信号都这样以唯一的方式分成对称（偶）与反对称（奇）两个独立的部分。另一方面，信号的大小在逐渐消失时用能量、持续下去时用功率来衡量；对称性量的是形状，能量和功率量的是大小，是两把不同的尺子。

任何信号都能以唯一的方式分成偶分量 xₑ(t) = [x(t) + x(−t)]/2 与奇分量 xₒ(t) = [x(t) − x(−t)]/2 之和。偶即 x(−t) = x(t)（镜像对称），奇即 x(−t) = −x(t)（中心对称）。信号的大小用总能量 E = ∫|x(t)|² dt 和平均功率衡量：E 有限为能量信号（P = 0），E = ∞ 而 P 有限为功率信号。

进入后续单元

对称性今后会成为减少计算的杠杆。在傅里叶变换中，实偶信号有实数频谱，实奇信号有纯虚数频谱，频谱的对称性由此确定。能量与功率的区分会引出在时间和频率中衡量同一大小的帕塞瓦尔定理，也是功率谱的基础。下一单元系统的性质将不再划分信号，而是把改变信号的系统分为线性、时不变和因果。