SC · 拉普拉斯

传递函数

传递函数 H(s) = 输出/输入与输入什么信号无关，表示的是系统本身。由于拉普拉斯变换把微分 d/dt 变成乘以 s，微分方程可以整理成两个多项式之比。本讲中你将移动一个系数，看微分方程、传递函数、极点和冲激响应如何作为一个整体一起变化。

一个系统，四种语言

对滑杆下方栏中的微分方程 dy/dt + a·y = a·x 做拉普拉斯变换，得到传递函数 H(s) = a/(s + a)；使分母为 0 的极点是 s = −a，冲激响应是 h(t) = a·e^(−at)。上图在 s 平面上标出当前极点(金色 ×)和目标极点(灰色 ×)，下图画出当前冲激响应(金色)和目标响应(虚线)。系数 a 从 2.4 开始。用滑杆把 a 调到目标，极点和响应曲线会同时与目标重合，因为一个系数决定了整个系统。

s 平面 (× = 极点 −a)

冲激响应 h(t) = a·e^(−at)

系数 a2.40

四种表示

H(s) = 2.40 / (s + 2.40)

dy/dt + 2.40 y = 2.40 x   ·   s = −2.40

金色极点 s = −a 离灰色目标极点还有距离。微分方程的系数 a 同时是传递函数分母中的常数和极点的位置，还决定响应衰减的快慢，所以下方曲线也偏离虚线。a 大时极点左移，响应先高高冲起再迅速衰减；a 小时正好相反。

不符

微分变成乘法

当初始值全为 0 时，拉普拉斯变换把微分 d/dt 变成乘以 s。对系统所满足的线性微分方程两边做变换，所有微分都变成 s 的幂，方程就成了关于 Y(s) 和 X(s) 的代数式。把它整理成输出 Y(s) 与输入 X(s) 之比，就得到两个 s 多项式之比 H(s) = N(s)/D(s)。对第一屏的 dy/dt + a·y = a·x，由 sY + aY = aX 得到 H(s) = a/(s + a)。难解的微分方程就这样缩成了一个分式。

观察H(s) = Y(s)X(s)

传递函数是输出除以输入。

选择拉普拉斯: d/dt → ?

在拉普拉斯变换中，d/dt 变成 s。

填空Y(s) = H(s) ?

输出是 H(s) 乘以输入。

自己来极点: D(s) = ?

极点是使分母为 0 的根。

传递函数是系统的身份证

H(s) = Y(s)/X(s) 无论输入什么都是同一个函数，既然不依赖输入，就可以把它看作系统本身。输入冲激时 X(s) = 1，于是 Y(s) = H(s)，传递函数恰好是冲激响应的拉普拉斯变换 H(s) = L{h(t)}。这相当于把 B1 单元中"只要知道冲激响应就能了解整个系统"的结论搬到了 s 域。不管输入是什么，输出都是 Y(s) = H(s)X(s)，只需在 s 域做一次乘法。C4 单元中"卷积即乘法"的性质，在这里连暂态响应也一并成立。

极点是分母的根

从微分方程建立传递函数时，分母 D(s) 正是该方程的特征多项式。它的根，也就是 D(s) = 0 的解，就是极点；正如上一单元所见，极点决定自然响应的模态和稳定性。分子 N(s) 的根是零点。所以只要知道微分方程的系数，就能把 H(s) 的分母和分子因式分解，直接得到极点和零点，并从它们的位置读出系统将如何运动。第一屏的一阶系统只有一个极点 −a，所以只要 a > 0，响应就无振荡地单纯衰减。

回到第一屏

在第一屏移动系数 a 时，微分方程、传递函数 H(s) = a/(s + a)、极点 s = −a 和冲激响应 a·e^(−at) 一起变化。这是因为四者是同一个系统的四种写法。拉普拉斯变换把微分变成 s、把方程变成一个分式，于是系统成了只需一次乘法就能处理的 H(s)。它分母的根就是极点，对任何输入，输出都是 Y(s) = H(s)X(s)。

传递函数 H(s) = Y(s)/X(s) 是输出与输入的拉普拉斯变换之比，与输入无关，是系统本身。对微分方程做变换，d/dt 变成 s，得到 H(s) = N(s)/D(s)，即 s 多项式之比。H(s) = L{h(t)}(冲激响应的变换)，对任何输入，输出都是 Y(s) = H(s)X(s)。分母 D(s) = 0 的根是极点，分子 N(s) = 0 的根是零点(D2 单元)。

进入下一单元

如果一个系统可以写成一个 H(s)，那么把多个系统连在一起，最终也能合并成一个 H(s)。下一单元 方框图与反馈 中，我们把系统画成方框，学习这些规则：串联时传递函数相乘，并联时相加，而把前向通路 H 的输出经通路 G 反馈回来时，合成为 H/(1 + HG)。反馈是控制的核心工具，它通过移动极点位置，让不稳定的系统变稳定，让慢的系统变快。信号与系统的故事，就在那里转入控制。