SC · 拉普拉斯

传递函数

传递函数 H(s) = 输出/输入是与输入无关的系统本身。拉普拉斯把微分 d/dt 变成乘以 s，使微分方程变成代数式。移动系数，看微分方程、传递函数、极点、冲激响应如同一体地一起动。

一个系统，四种语言

微分方程，与其拉普拉斯变换得到的传递函数 H(s) = a/(s+a)、使分母为零的极点、以及冲激响应 h(t) = a·e^(−at)，都是同一个系统。移动系数 a，四者一起改变。对到虚线目标响应，看一个系数如何确定整个系统。

s 平面 (× = 极点 −a)

冲激响应 h(t) = a·e^(−at)

系数 a2.40

四种表示

H(s) = 2.40 / (s + 2.40)

dy/dt + 2.40 y = 2.40 x   ·   s = −2.40

极点位置 s = −a 与目标不同。微分方程的系数 a 就是传递函数的分母与极点，还决定响应衰减的快慢。四者指向同一个 a。

不符

微分变成乘法

在初值为 0 时，拉普拉斯变换把微分 d/dt 变成乘以 s。所以把系统所遵循的线性微分方程两边变换，所有微分运算都变成 s 的幂，方程就成了代数式。整理成输出 Y(s) 与输入 X(s) 之比，便得 H(s) = N(s)/D(s)，即 s 的多项式之比。难解的微分方程简化为一个分式。

观察H(s) = Y(s)X(s)

传递函数是输出除以输入。

选择Laplace: d/dt → ?

拉普拉斯把 d/dt 变成 s。

填空Y(s) = H(s) ?

输出是 H 乘以输入。

自己来poles: D(s) = ?

极点是使分母为零的根。

传递函数是系统的身份证

H(s) = Y(s)/X(s) 是无论输入什么都相同的函数。它不依赖输入，所以就是系统本身。输入冲激时 X(s)=1，故 Y(s)=H(s)：传递函数正是冲激响应的拉普拉斯变换 H(s)=L{h(t)}。这把 B1 中冲激响应道尽系统的论断搬到 s 域。而对任意输入，输出都是 Y(s) = H(s) X(s)，即 s 域的乘法。C4 的卷积即乘法性质，连同暂态在此完整呈现。

极点是分母的根

从微分方程建立传递函数，分母 D(s) 就是该方程的特征多项式。它的根，即 D(s)=0 的解，是极点，正如上一单元所示，决定系统的自然响应模式与稳定性。分子 N(s) 的根是零点。所以知道微分方程的系数，就能因式分解 H(s) 的分母与分子，立刻得到极点和零点，从其位置读出系统的行为。刚看到的一阶系统只有一个极点(−a)，所以是单纯衰减。

回到第一屏

移动系数 a，微分方程、传递函数 H(s) = a/(s+a)、极点 s = −a、冲激响应 a·e^(−at) 全都一起动，因为四者是用四种语言写的同一个系统。由于拉普拉斯把微分变成 s、把方程变成一个分式，系统就成了一次乘法即可处理的 H(s)。其分母的根是极点，对任意输入输出都是 Y(s) = H(s) X(s)。

传递函数 H(s) = Y(s)/X(s) 是输出与输入拉普拉斯变换之比，是与输入无关的系统本身。变换微分方程使 d/dt 变成 s，得 H(s) = N(s)/D(s) 这一 s 多项式之比。H(s) = L{h(t)}(冲激响应的变换)，对任意输入输出都是 Y(s) = H(s) X(s)。D(s)=0 的根是极点，N(s)=0 的根是零点(D2)。

进入下一单元

若一个系统能用一个 H(s) 写出，那么把多个系统连起来也终将合并为一个 H(s)。下一单元方框图与反馈把系统画成方块，学习规则：串联时传递函数相乘，并联时相加，把输出反馈到输入则合并为 H/(1+HG)。反馈移动极点，把不稳定系统变稳定、把慢系统变快——是控制的核心工具。信号与系统由此跨入控制。