稳定性与劳斯判据

不解极点也能判稳定

像 D4 的反馈那样，对 K/(s(s+1)(s+2)) 施加增益为 K 的单位反馈，闭环特征方程便是 s³ + 3s² + 2s + K = 0。左侧 s 平面的 × 是它的三个极点，绿色左半面是稳定区域。右侧指示器显示由这些系数建立的劳斯表第一列。移动增益 K。当 K 增大，第一列的 (6−K)/3 项变为负，恰在此时一对复极点越过虚轴进入右半面。仅凭劳斯表，不解极点也能找到那个边界。

稳定即所有极点在左半面

正如 D2 所见，系统要稳定，特征方程的每个根，即每个极点，都必须在左半面（实部为负）。只要有一个在右半面，该模式就发散。但超过三阶，用手求根就很痛苦，高阶时几乎不可能。所幸我们想要的不是根的精确值，而是一个是非：它们是否全在左半面？劳斯–赫尔维茨判据不求任何根，仅组合特征方程的系数就给出答案。先看一个必要条件：所有系数都必须存在且同号（通常为正）。只要有一个系数缺失或异号，仅此就已经不稳定。

劳斯表与第一列的符号

劳斯表从把特征方程的系数交替写成两行开始。对 s³ + 3s² + 2s + K，s³ 行放 1 和 2，s² 行放 3 和 K。从下一行起，把上面两行像 2×2 行列式那样交织填入。s¹ 行的第一个值是 (3·2 − 1·K)/3 = (6−K)/3，s⁰ 行是 K。这样建成的表第一列 1, 3, (6−K)/3, K 就是判定的全部。核心规则：沿第一列向下符号变化的次数恰好等于右半面极点的个数。零次变化即无右半面极点，故稳定；一次即一个，两次即两个在右半面。在此例中，当 (6−K)/3 为正，即 K < 6，没有符号变化，是稳定的。

临界增益与设计

第一列某一项恰好变为零的那一点，就是稳定与不稳定的边界。在此例中 (6−K)/3 = 0，即 K = 6，是临界增益，此时由 s² 行与 s⁰ 行构成的辅助方程 3s² + 6 = 0 解得 s² = −2，极点落在 s = ±j√2。这就是系统以恒定幅度振荡的频率。劳斯不止于简单的合格与否：它还用手就给出边界增益乃至那时的振荡频率。所以在控制设计中，它能立刻用来设定安全的增益上限，或考察某个参数变动到何处仍保持稳定。它自然地引向下一阶段的工具——根轨迹与波特图——以移动极点、塑造想要的响应。

回到第一屏

对把 K/(s(s+1)(s+2)) 以增益 K 反馈而成的闭环，其特征方程 s³ + 3s² + 2s + K，我们不解极点、仅凭系数就作了判定。劳斯表第一列 1, 3, (6−K)/3, K 中，符号变化的次数就是右半面极点的个数。增大 K，(6−K)/3 变为负，出现两次符号变化，恰在此时 s 平面上一对复极点越过虚轴进入右半面。边界是 K = 6，此时极点为 s = ±j√2。无需逐一求解高阶方程的根，仅凭系数的一种组合，就把稳定的判定及其边界握在手中。

劳斯告诉了我们在某一个增益下系统是否稳定，却没有显示增益从零增大时极点在 s 平面上描出的路径。下一单元根轨迹正是画出那条路径。当增益 K 变化时，跟随闭环极点从开环极点出发、奔向零点的轨迹，就能一眼看出它们在何处越过虚轴而失稳、在什么 K 得到想要的阻尼比。我们刚用劳斯求出的边界 K = 6，正是根轨迹与虚轴相交的那一点。