稳定性与劳斯判据

不解极点也能判稳定

与 D4 单元的反馈一样，给 K/(s(s + 1)(s + 2)) 加上增益为 K 的单位反馈，闭环特征方程就是 s³ + 3s² + 2s + K = 0。上图是 s 平面，金色 × 是这三个极点，涂成绿色的左半平面是稳定区域。下方显示栏列出用这些系数建立的劳斯表第一列 1、3、(6 − K)/3、K，变为负数的项会变成红色。初始的 K = 8 时，(6 − K)/3 为负，符号改变两次，一对共轭复极点位于虚轴右侧。把 K 降到 6 以下，这一项重新变正，同一时刻两个极点越过虚轴进入左半平面，所以只看劳斯表，不求极点也能知道这条边界。

稳定即所有极点在左半面

正如 D2 单元所见，系统要稳定，特征方程的所有根，即所有极点，都必须在左半平面(实部为负)，只要有一个在右半平面，那个模态就会发散。可是一旦超过三阶，用手求根就很吃力，阶数更高时几乎不可能。幸好我们想知道的并不是根的精确值，而只是"是否全部在左半平面"这一个是或否。劳斯–赫尔维茨判据完全不求根，只把特征方程的系数组合起来就给出答案。首先有一个必要条件：所有系数都必须存在且符号相同(通常为正)。只要有一个系数缺失或符号不同，单凭这一点就可以判定系统不稳定。

劳斯表与第一列的符号

劳斯表从把特征方程的系数交替写成两行开始。对 s³ + 3s² + 2s + K，在 s³ 行放 1 和 2，在 s² 行放 3 和 K。从下面一行起，把上面两行像 2×2 行列式那样组合起来填写：s¹ 行的第一个值是 (3·2 − 1·K)/3 = (6 − K)/3，s⁰ 行是 K。这样得到的第一列 1、3、(6 − K)/3、K 就是判定的全部依据。规则只有一条：沿第一列往下，符号改变的次数恰好等于右半平面极点的个数；没有符号改变就没有右半平面极点，系统稳定；改变一次就有 1 个，改变两次就有 2 个在右半平面。在这个例子中，(6 − K)/3 为正，即 K < 6 时，没有符号改变，系统稳定。

临界增益与设计

第一列某一项正好等于 0 的地方，就是稳定与不稳定的边界。在这个例子中，(6 − K)/3 = 0，即 K = 6 是临界增益，此时由 s² 行列出辅助方程 3s² + 6 = 0，解得 s² = −2，也就是极点落在 s = ±j√2。这就是系统以恒定振幅振荡的角频率 √2 rad/s。由此可见，劳斯判据不只是判断合格与否，还能用手求出边界增益以及那时的振荡频率。所以在控制设计中，确定安全增益的上限，或者考察某个参数变化到什么程度仍能保持稳定时，都会直接用到它，并自然地过渡到通过移动极点来塑造理想响应的根轨迹和伯德图。

回到第一屏

在第一屏，我们对 K/(s(s + 1)(s + 2)) 加上增益为 K 的反馈，得到闭环特征方程 s³ + 3s² + 2s + K，不求极点，只凭系数作了判定。劳斯表第一列 1、3、(6 − K)/3、K 中符号改变的次数，就是右半平面极点的个数。增大 K，(6 − K)/3 变为负数，出现两次符号改变，恰在此时，s 平面上的一对共轭复极点越过虚轴进入右半平面。边界是 K = 6，那时极点位于 s = ±j√2。不必逐一求解高阶方程的根，仅凭系数的一种组合，就把稳定与否及其边界握在了手中。

用劳斯判据，我们分辨了某个增益下系统是否稳定，却还没有看到增益从 0 增大的过程中，极点在 s 平面上走出怎样的路径。下一单元 根轨迹 画的正是这条路径。跟踪增益 K 变化时闭环极点从开环极点出发、朝开环零点(没有零点时朝无穷远)前进的轨迹，就能一眼看出它们在哪里越过虚轴变得不稳定，以及在哪个 K 下得到想要的阻尼比。刚才用劳斯判据求出的边界 K = 6，正是根轨迹与虚轴相交的那个点。