SC · 傅里叶

傅里叶级数

周期信号可以分解为基频整数倍的正弦波之和，也就是各次谐波之和。亲自确认：随着谐波一个个加上去，部分和是如何逐渐恢复原方波形状的。

叠加谐波构建方波

金色虚线是目标 ±1 方波，蓝色曲线是几个奇次谐波相加得到的部分和。下方的竖条是各次谐波的强度，已经加上的项以金色点亮。把项数依次增加到 1、2、4、8、20，看看部分和与方波有多接近。

部分和目标方波

谐波强度 bₖ = 4/kπ

谐波项数

部分和与接近程度

(4/π) Σ sin(kω₀t)/k,  k ≤ 1

只有一项，所以就是一条平滑的正弦波。单靠基波，完全跟不上方波陡峭的棱角。

单项

周期信号是谐波之和

周期为 T 的信号只由基频 ω₀ = 2π/T 及其整数倍 2ω₀、3ω₀、… 的正弦波构成，这些整数倍成分称为谐波。所以任何周期信号都可以写成常数项加上各次谐波之和的形式。就像乐器的声音由基音和泛音组成一样，基波和各次谐波合在一起构成一个波形。本页的方波 ω₀ = 2，所以周期是 π。

观察f(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sin(kω₀t)]

周期信号是常数加谐波之和。

选择ω₀ = ?

基频是 2π 除以周期。

填空bₖ = ? (k 为奇数)

方波正弦系数为 4/kπ。

独立完成谐波位于 ?

谐波是基频的整数倍。

项越多越接近

部分和是只加了前几次谐波的近似。增加项数，高频谐波就会填补陡峭的变化，棱角变得锐利。方波只含奇次谐波，第 k 次谐波的强度为 4/kπ，频率越高越小；取 20 项时，最高包含到第 39 次谐波。不过对于有间断的信号，跳变附近的过冲即使增加项数也不会消失，而是保持在跳变高度的约 9%，这就是吉布斯现象。

系数是各谐波的强度

每次谐波前面的系数，即傅里叶系数，决定这一谐波混入多少。从偶·奇分解（A4）来看，方波是奇函数，所以只有正弦而没有余弦；又因为它具有半波对称性，偶次谐波也为 0。把这些系数按频率顺序排开，就得到该信号的频谱，时域中的一个波形就这样变成了频域中的几根竖条。这正是下一单元的主题。

回到第一屏

只有一项时，部分和只是一条正弦波，与方波相去甚远。加上奇次谐波后，棱角变陡、波峰变平，越来越像方波，而每个间断点处都留下了一个不会消失的小吉布斯耳朵。下方的竖条是各次谐波的强度 4/kπ，频率越高越短。把周期信号拆成各次谐波的这种分解就是傅里叶级数，把这些竖条立在频率轴上的图就是频谱。

傅里叶级数把周期为 T 的信号写成基频 ω₀ = 2π/T 整数倍的各次谐波之和：f(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sin(kω₀t)]，其中傅里叶系数 aₖ、bₖ 是各次谐波的强度。方波是奇函数，只剩正弦项，bₖ = 4/kπ（k 为奇数），偶次谐波为 0。项数越多部分和越接近，但在间断处会留下跳变约 9% 的过冲（吉布斯现象）。

进入下一单元

既然看到了每次谐波都有自己的强度，接下来就该把这些强度本身画出来。下一单元频谱不再画时间轴上的波形，而是在频率轴上把各次谐波的大小立成竖条，这样方波就表现为只立在奇数倍频率上的几根竖条。同一个信号，是从时间上看还是从频率上看，两幅图构成一对，傅里叶的核心就从这里展开。