SC · 傅里叶
傅里叶级数
周期信号分解为基频整数倍的正弦波之和，即它的谐波。亲眼看到逐个加入谐波时，部分和如何重建原方波的形状。
叠加谐波构建方波
金色虚线是目标方波。蓝色曲线是若干奇次谐波相加的部分和，下方是各谐波的强度。增加谐波项数，看部分和与方波有多接近。
部分和目标方波
谐波强度 bₖ = 4/kπ
谐波项数
部分和与接近度
(4/π) Σ sin(kω₀t)/k, k ≤ 1
只有一项，是一条平滑的正弦。仅靠基波根本跟不上方波陡峭的边沿。
单项
周期信号是谐波之和
周期为 T 的信号只由基频 ω₀ = 2π/T 及其整数倍 2ω₀、3ω₀、… 的正弦波构成。这些整数倍分量称为谐波。所以任何周期信号都写成常数项加谐波之和。如同音乐的和弦，基音与泛音汇成一个波形。
观察f(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sin(kω₀t)]
周期信号是常数加谐波之和。
选择ω₀ = ?
基频是 2π 除以周期。
填空bₖ = ? (k odd)
方波正弦系数为 4/kπ。
自己来harmonics at ?
谐波是基频的整数倍。
项越多越接近
部分和是只用前几个谐波的近似。增加项让高频谐波填补陡变，边沿变锐。方波只有奇次谐波，第 k 个谐波强度为 4/kπ，频率越高越小。但对有不连续的信号，跳变附近的超调不随项增加而消失，保持约 9%。这就是吉布斯现象。
系数是各谐波的强度
每个谐波前的数，即傅里叶系数，决定混入多少该谐波。由偶奇对称(A4)，方波是奇函数，所以只出现正弦没有余弦，偶次谐波为 0。把这些系数按频率排开，就得到信号的频谱。时域的一个波形变成频域的几根柱——这正是下一单元的主题。
回到第一屏
只有一项时，部分和是一条孤独的正弦，远离方波。加入奇次谐波后边沿变陡、顶部变平而趋近方波，跳变处留有永不消失的小吉布斯耳。下方的柱是各谐波强度 4/kπ，频率越高越短。把周期信号分解为谐波的这种分解就是傅里叶级数，把那些柱立在频率轴上的图就是频谱。
傅里叶级数把周期为 T 的信号写成基频 ω₀ = 2π/T 整数倍的谐波之和。f(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sin(kω₀t)]。每个傅里叶系数 aₖ、bₖ 是该谐波的强度。方波是奇函数，故只剩正弦，bₖ = 4/kπ(奇 k)，偶次谐波为 0。项越多部分和越接近，但不连续处保持约 9% 超调(吉布斯现象)。
进入下一单元
既然看到每个谐波都有强度，接下来就把这些强度本身画出来。下一单元频谱用频率轴上每个谐波的大小柱，取代时间轴上的波形。于是方波呈现为只立在奇数频率处的几根柱。在时间还是频率中看同一信号——两幅图构成一对——正是傅里叶的核心，从那里展开。