卷积的直观

翻转、滑动、读出重叠

上图中金色的矩形脉冲是输入 x(τ)，蓝色曲线是把响应 h 翻转并平移到时刻 t 的 h(t − τ)。两者相乘的绿色面积就是输出 y(t)，下图是这条输出曲线。移动滑动位置 t，看面积何时最大：那一刻，下方曲线上的点也到达峰顶。

输出就是重叠面积

求某一时刻 t 的输出要走四步：翻转响应（h(−τ)），平移到时刻 t（h(t − τ)），与输入相乘（x(τ)·h(t − τ)），再对乘积积分。乘积不为 0 的区段就是重叠部分，其面积就是 y(t)；翻转、平移、相乘、积分，这就是卷积的全部。

为何翻转

在上一单元中，时刻 τ 的输入冲激 x(τ) 在输出中留下了 x(τ)·h(t − τ)，因为它的延迟是 t − τ。时刻 t 的输出是所有 τ 留下的这些贡献之和，所以 y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ。对积分变量 τ 而言，h 的自变量是 t − τ，符号反了过来，所以图中的 h 看上去左右翻转。翻转是延迟自然带来的结果。

交换律与离散卷积

卷积满足交换律。由于 x ∗ h = h ∗ x，翻转输入还是翻转响应，结果都一样。结合律也成立，所以串联的系统可以合并为一个。对离散信号，积分变成求和，y[n] = Σ x[k] h[n − k]，数字滤波器在每个采样点计算的正是这个和。

回到第一屏

每次移动滑动位置，绿色面积都会变化，而这个面积与下方输出曲线在该时刻的值完全相同。几乎没有重叠时输出接近 0，在重叠最大的 t = 1 附近，输出到达峰顶。卷积就是让翻转后的响应在输入上滑动，把每个时刻的重叠面积汇集起来，构成输出曲线。只要有一个冲激响应和这一种运算，就能算出 LTI 系统的一切输出。

掌握了重叠的图像，接下来就该把它变成数字。下一单元卷积的计算将对矩形脉冲等简单信号的卷积分段直接积分，亲手验证图中的峰和尾巴来自什么样的式子。就本单元的图而言，0 ≤ t ≤ 1 时 y = (1 − e^−1.5t)/1.5 逐渐上升，t > 1 时按指数衰减。翻转、平移、相乘、积分这四个动作，恰好决定了分段的边界。