SC · LTI 与卷积
卷积的直观
卷积是把冲激响应翻转、滑到某一时刻，再与输入相乘、量出重叠的面积。那面积就是该时刻的输出；滑动它，看整条输出曲线浮现。
翻转、滑动、读出重叠
上图是固定的输入 x(τ)，与翻转后滑到时刻 t 的响应 h(t−τ)。两者重叠的绿色面积就是输出 y(t)。下方是那条输出曲线。移动滑动位置 t，找出面积何时最大。
输入 x(τ)翻转的 h(t−τ)重叠 = y(t)
输出 y(t)
滑动位置 t-0.50
此刻的输出
y(-0.50) = 0.000
翻转的响应几乎不与输入重叠。乘积近乎 0，所以面积和输出都接近 0。
重叠很少
输出就是重叠面积
要求某一时刻 t 的输出，分四步：翻转响应(h(−τ))、滑到 t(h(t−τ))、与输入相乘(x(τ)·h(t−τ))、再对乘积积分。乘积非零之处就是重叠，其面积即 y(t)。翻转·滑动·相乘·积分，这就是卷积的全部。
观察y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ
输出是乘积的积分，即重叠面积。
选择y(t) = ∫ x(τ) ? dτ
被积项是输入乘以翻转平移的响应。
填空y[n] = ?
离散情形积分变为求和。
自己来y = x ?
卷积用星号表示。
为何翻转
上一单元中，时刻 τ 的输入冲激 x(τ) 在输出留下 x(τ)·h(t−τ)，因为其延迟为 t−τ。时刻 t 的输出是把所有 τ 留下的这些贡献相加，所以 y(t) = ∫ x(τ) h(t−τ) dτ。对积分变量 τ 而言，h 的自变量 t−τ 带负号，于是图中 h 左右翻转。翻转是延迟的自然结果。
交换律与离散卷积
卷积满足交换律：x ∗ h = h ∗ x，所以翻转输入或响应都得到相同结果。它也满足结合律，于是串联的系统可合并为一个。对离散信号，积分变为求和 y[n] = Σ x[k] h[n−k]，数字滤波器在每个样本处正是计算这个和。
回到第一屏
每次移动滑动位置，绿色面积都在变，而那面积恰好等于下方输出曲线在该时刻的值。重叠稀少处输出近 0；重叠最大处输出触及峰值。卷积把翻转的响应在输入上滑过，收集每一时刻的重叠面积来构造输出曲线。一个冲激响应加上这一种运算，就能算出 LTI 系统的全部输出。
卷积 y(t) = (x ∗ h)(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ 是四个动作：翻转响应、滑到 t、与输入相乘、积分。那重叠面积就是输出 y(t)。卷积满足交换·结合律(x ∗ h = h ∗ x)，离散为 y[n] = Σ x[k] h[n − k]。LTI 系统的输出是输入与冲激响应的卷积。
进入下一单元
握住了重叠的图像，现在该把它化为数字。下一单元卷积的计算把矩形脉冲等简单信号的卷积分区间逐段积分，让你亲手确认图中看到的峰与尾以何种公式出现。翻转·滑动·相乘·积分这四个动作，正好决定划分区间的分界点。