SC · 拉普拉斯

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换在傅里叶变换上加了收敛因子 e^(−σt)，把频率 jω 拓宽为复数 s = σ + jω。亲眼看到那个 σ 如何驯服增长的信号，使傅里叶无法处理的信号也能变换。

加权信号是否收敛

上方是增长的信号 e^(at)(浅)与乘上收敛因子 e^(−σt) 后的加权信号(深)。下方是该加权信号的累积积分。增大 σ，让增长的信号衰减到 0、积分收敛到天花板。那时拉普拉斯变换才存在。

增长信号 e^(at)加权 e^((a−σ)t)

累积积分

收敛因子 σ0.50

变换与收敛域

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ 小于增长率 a，加权信号 e^((a−σ)t) 仍在增长。积分发散，变换不存在。这正是傅里叶(σ=0)失败的区域。

发散

给傅里叶加上收敛因子

傅里叶变换把信号乘以 e^(−jωt) 再积分。拉普拉斯变换在此再乘一层实指数 e^(−σt)。两个因子合起来是 e^(−st)，其中 s = σ + jω 是复频率。jω 部分仍挑选振荡，而 σ 部分通过不断变小的 e^(−σt) 强制信号衰减。所以无界增长、使傅里叶积分发散的信号，只要把 σ 提得够大，积分就收敛、便有变换。

观察X(s) = ∫ x(t) e^−st dt

变换乘以 e^−st 后积分。

选择s = ?

复频率 s = σ + jω。

填空e^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t) 在 Re(s) > a 收敛。

自己来σ = 0: s = ? (Fourier)

σ=0 时拉普拉斯即傅里叶。

收敛域(ROC)

拉普拉斯积分并非对所有 σ 都收敛。对增长信号 e^(at)u(t)，加权信号是 e^((a−σ)t)，仅当 σ > a 时才衰减到 0，使积分收敛。积分收敛的 σ 范围称为收敛域 ROC。该信号的变换是 X(s) = 1/(s−a)，ROC 为 Re(s) > a。同一公式若 ROC 不同就表示不同信号，所以拉普拉斯变换必须 X(s) 与 ROC 成对才完整。

傅里叶是拉普拉斯的一个切面

s = σ + jω 是平面上的一点。把 σ 设为 0，则 s = jω，即竖直的虚轴，在那里拉普拉斯变换正好成为傅里叶变换——但仅当该虚轴在 ROC 之内。所以傅里叶是拉普拉斯所见整个 s 平面中沿虚轴的一个切面。能自由选择 σ，正是拉普拉斯处理暂态与稳定性的力量所在。下一单元就在这个 s 平面上标出极点和零点来读系统。

回到第一屏

σ 较小时加权信号仍增长、积分发散——正是傅里叶变换失败之处。把 σ 提到增长率 a 之上，e^((a−σ)t) 衰减到 0，积分在天花板 1/(σ−a) 处稳定，拉普拉斯变换开始存在。拉普拉斯给傅里叶添加的，正是这个可选的 σ，一个强制收敛的实指数。它造出的收敛范围就是 ROC，而变换是 X(s) 与 ROC 的一对。

拉普拉斯变换 X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt 使用复频率 s = σ + jω。因子 e^−st = e^−σt e^−jωt 中 e^−σt 是收敛因子，驯服增长信号，使傅里叶无法处理的信号也能变换。积分收敛的 σ 范围是收敛域(ROC)。对 e^atu(t)，X(s) = 1/(s−a)，ROC：Re(s) > a。σ=0(s=jω) 且虚轴在 ROC 内时，拉普拉斯退化为傅里叶。

进入下一单元

若 s 是平面上的一点，那么变换 X(s) 趋于无穷之处与变为 0 之处，几乎道尽该系统的性格。下一单元s 平面与极点·零点在平面上标出使 X(s) = 1/(s−a) 分母为零的极点 s=a。极点在虚轴左侧(Re<0)意味衰减响应，右侧则发散。B4 中 a<0 的稳定条件，正以这个极点位置再次出现。用平面上几个点读系统的方法由此展开。