SC · 拉普拉斯

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换就是给傅里叶变换乘上收敛因子 e^(−σt)，把频率 jω 推广为复数 s = σ + jω。亲自确认：这个 σ 能让增长的信号衰减下去，所以傅里叶处理不了的信号也能被变换。

加权信号是否收敛

上图中浅色虚线是增长的信号 e^(at)（a = 1），蓝色曲线是乘上收敛因子 e^(−σt) 后的加权信号。下图是这个加权信号从 0 开始的累积积分。把 σ 调大，原本增长的信号衰减到 0，积分碰到上限后停下，这时拉普拉斯变换就存在了。

增长信号 e^(at)加权 e^((a−σ)t)

累积积分

收敛因子 σ0.50

变换与收敛域

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ 小于增长率 a = 1，所以加权信号 e^((a−σ)t) 仍在增长。积分发散，变换不存在，傅里叶（σ = 0）失效的地方也正在这里。

发散

给傅里叶乘上收敛因子

傅里叶变换是给信号乘以 e^(−jωt) 再积分，拉普拉斯变换则在此基础上再乘一层实指数 e^(−σt)。两个因子合起来是 e^(−st)，其中 s = σ + jω 是复频率。jω 部分仍负责挑出振荡，而 σ > 0 时 e^(−σt) 随时间变小，所以 σ 部分会强制让信号衰减下去。因此，即使是无限增长、使傅里叶积分发散的信号，只要把 σ 取得足够大，积分也会收敛，从而有了变换。

观察X(s) = ∫ x(t) e^−st dt

变换就是乘以 e^−st 再积分。

选择s = ?

复频率 s = σ + jω。

填空e^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t) 在 Re(s) > a 时收敛。

自己来σ = 0: s = ? (傅里叶)

σ = 0 时，拉普拉斯就是傅里叶。

收敛域(ROC)

拉普拉斯积分并不是对所有 σ 都收敛。对于增长的信号 e^(at)u(t)，加权信号为 e^((a−σ)t)，只有 σ > a 时才衰减到 0、积分才收敛；这种使积分收敛的 σ 的范围称为收敛域，即 ROC。这个信号的变换为 X(s) = 1/(s − a)，ROC 为 Re(s) > a。同一个式子，ROC 不同就表示不同的信号，所以拉普拉斯变换必须是 X(s) 与 ROC 成对才算完整。

傅里叶是拉普拉斯的一个切面

s = σ + jω 是平面上的一个点。令 σ 为 0，就得到 s = jω，即纵向的虚轴，在那里拉普拉斯变换恰好就是傅里叶变换，但前提是虚轴位于 ROC 之内。所以傅里叶是从拉普拉斯所看的整个 s 平面中，切出虚轴这一条线得到的截面。正因为可以自由选择 σ，拉普拉斯才能处理暂态响应和稳定性；下一单元将在这个 s 平面上标出极点和零点来解读系统。

回到第一屏

σ 较小时，加权信号仍在增长，积分发散，而那里正是傅里叶变换失效的地方。把 σ 调大到超过增长率 a，e^((a−σ)t) 就衰减到 0，积分稳定在上限 1/(σ − a)，拉普拉斯变换开始存在。拉普拉斯给傅里叶增加的，正是这个可以选择的 σ，也就是强制收敛的实指数。这个 σ 所造就的收敛范围就是 ROC，变换是 X(s) 与 ROC 的一对。

拉普拉斯变换 X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt 使用复频率 s = σ + jω。在因子 e^−st = e^−σt e^−jωt 中，e^−σt 是收敛因子，它使增长的信号衰减下去，让傅里叶处理不了的信号也能被变换。使积分收敛的 σ 的范围是收敛域（ROC），e^atu(t) 的变换为 X(s) = 1/(s − a)，ROC：Re(s) > a。当 σ = 0（s = jω）且虚轴在 ROC 内时，拉普拉斯退化为傅里叶。

进入下一单元

既然 s 是平面上的点，那么变换 X(s) 变为无穷大的点和变为 0 的点，几乎包含了这个系统的全部特性。下一单元s 平面与极点·零点将把使 X(s) = 1/(s − a) 的分母为 0 的极点 s = a 标在平面上。极点位于虚轴左侧（Re < 0）就是衰减的响应，位于右侧就是发散的响应；B4 中看到的 a < 0 稳定条件，正是以这个极点的位置重新出现。用平面上的几个点来解读系统的方法，就从那里展开。