SC · 采样与离散

混叠

采样的折叠频率 fs/2 是一面镜子。高于它的真实频率不会显得更高，而是被镜子弹回、折叠成更低的频率。提高真实频率，看见的频率不再持续上升，而是呈锯齿状折叠。

在镜子上弹回折叠的频率

采样率 fs 固定，用滑杆提高真实信号的频率 f。上方是时间轴。一旦 f 超过折叠频率 fs/2，一个更慢的冒牌信号（红色）会与快速的真实信号（金色）经过同样的采样点。那个冒牌的频率就是你看到的频率。下方是折叠图。提高 f 时，看见的频率升到 fs/2 又降回来，再升起，如此锯齿往复。把 f 保持在 fs/2 以下，看到的就与真实相同。

真实与冒牌（时间轴）

折叠图：看见的频率 vs 真实频率

真实频率 f6.00

频率与折叠

f = 6.00 · fs = 8.00 · fold fs/2 = 4.00

apparent f_a = 2.00

真实频率 f 高于折叠频率 fs/2。被镜子弹回，看见的频率不是 f，而是更低的幻象 f_a = |f − fs·round(f/fs)|。仅凭采样无法把这个幻象与真实区分。再提高 f，看见的频率也只是在 0 与 fs/2 之间锯齿往复。

混叠（看到幻象）

频率在镜子处折叠

一旦采样，那段振荡既可由真实的 f 正弦解释，也可由 fs−f、fs+f、2fs−f 等无穷多个其他正弦同样解释。采样无法区分它们。人会看到其中最低的那个，即落在 fs/2 以下的那个。所以把真实频率 f 从 0 提高时，看见的频率径直升到 fs/2，再以 fs/2 为镜降回 0，到 fs 又重新上升，如此反复。看见的频率是三角波 |f − fs·round(f/fs)|。第一屏的折叠图正是这条三角波。

观察folding (Nyquist) frequency = fs2

折叠频率是采样率的一半。

选择apparent = true when f ?

低于 fs/2，看见的就是真实。

填空for fs2 < f < fs, apparent = | f − ?

fs 附近的音折叠为 |f − fs|。

自己来general f_a = | f − fs · ? |

减去最近的 fs 倍数即得幻象频率。

车轮、照片、声音中的折叠

凡有采样之处，混叠都以同一张面孔出现。电影摄影机每秒拍 24 张（fs=24），所以转得比它快的车轮辐条会折叠，看起来慢转甚至倒转。数码相机的传感器以像素间距采样光，于是比它更细的条纹衣物或格栅折叠成粗大的波纹，即摩尔纹。以 fs 采样音频时，fs/2 以上的声音折叠进来变成错误的音高，产生刺耳的金属噪声。三者都是在 fs/2 这同一面镜子上发生的同一种现象。

守在镜前的滤波器

由于折叠后的幻象产生与真实完全相同的采样，一旦采样便永远无法把两者分开。所以必须在折叠之前阻止。于是在采样之前，放一个低通滤波器，预先削去 fs/2 以上的所有成分。这就是抗混叠滤波器。它在镜子之前先清走会映入镜中的东西，消除会折叠进来的那些频率本身。电影靠快门开启期间抹糊运动的运动模糊，相机靠传感器前的光学低通滤波器，音频靠 ADC 前级的模拟滤波器，做的是同一件事。把采样率提得足够高，或在无法提高时先丢弃 fs/2 以上，这两条是阻止混叠的唯一途径。

回到第一屏

固定采样率 fs，只提高真实频率 f。当 f 在折叠频率 fs/2 以下时，看见的频率与真实相同；但一旦越过 fs/2，便被镜子弹回、看见的频率降了回来。更慢的冒牌与快速的真实信号经过同样的采样点，仅凭采样无法分开两者。再提高 f，看见的频率也只是在 0 与 fs/2 之间画出三角波。车轮倒转、照片起波纹、声音走音，全都发生在这同一面镜子上。是否越过 fs/2，决定了你所见是真实还是幻影。

混叠以采样率 fs 之半的折叠频率 fs/2 为镜子而发生。高于 fs/2 的真实频率 f 在采样上折叠成更低的幻象看见的频率 f_a = |f − fs·round(f/fs)|。f 升高时，f_a 是在 0 与 fs/2 之间摆动的三角波。低于 fs/2 即忠实（看见的是真实），其上则是幻影。车轮倒转、摩尔纹、音频音高失真都是同一种折叠。折叠后的幻象在采样后无法挽回，所以要在采样前用抗混叠（低通）滤波器削去 fs/2 以上来防止。

进入下一单元

至此我们只把采样看作时间上的点。现在需要一种工具，把这些点的序列本身当作一个变量来处理。下一单元 z 变换 是离散信号的拉普拉斯变换。它把一步延迟收进符号 z⁻¹，将离散信号与差分方程化为 z 的代数。正如连续时间里 s 平面及其极点定下响应，离散时间里 z 平面及其上的极点做同样的事。只是如今稳定的边界不再是虚轴，而是单位圆，而这一变化正是采样把 s 平面卷绕到 z 平面的结果。