SC · 采样与离散

混叠

在采样中，折叠频率 fs/2 就像一面镜子。高于它的真实频率不会显得更高，而是被镜子弹回，折叠成较低的频率进来。本讲中你将调高真实频率，亲眼看到表观频率不再一直上升，而是呈锯齿状来回折叠。

在镜子上弹回折叠的频率

采样速率固定为 fs = 8，滑杆改变真实信号的频率 f。上图是时间轴。f 超过折叠频率 fs/2 = 4 后，一个更慢的假信号(红色虚线)会恰好经过快速真实信号(金色)的同一批样本，这个假信号的频率就是表观频率。在初始的 f = 6 时，表观频率是 2。下图是折叠图：横轴是真实频率，纵轴是表观频率，红点是当前位置。调高 f，表观频率先升到 4，再降回来，在 f = 8 时变为 0，然后又上升，如此呈锯齿状反复。只有在涂成绿色的 f < 4 区间，表观频率才等于真实频率。

真实与冒牌（时间轴）

折叠图：看见的频率 vs 真实频率

真实频率 f6.00

频率与折叠

f = 6.00 · fs = 8.00 · 折叠频率 fs/2 = 4.00

表观频率 f_a = 2.00

真实频率 f 高于折叠频率 fs/2 = 4。被镜子弹回后，表观频率不是 f，而是 f_a = |f − fs·round(f/fs)| 这样一个较低的假频率，仅凭样本无法把它和真实信号区分开。f 在 4 和 8 之间时，假正弦的相位被翻转后画出，这正是车轮看起来倒转的原因。继续调高 f，表观频率也只会在 0 和 4 之间锯齿状地来回。

混叠（看到幻象）

频率在镜子处折叠

单看样本，这些点既可以用真实频率 f 的正弦来解释，也可以同样好地用 fs − f、fs + f、2fs − f 等无数其他正弦来解释。样本无法区分它们，重建时选取的是其中频率最低、落在 0 与 fs/2 之间的那一个。因此把真实频率 f 从 0 调高，表观频率先笔直升到 fs/2，再以 fs/2 为镜子降回，在 fs 处变为 0，然后又上升，如此反复。写成式子就是表观频率 = |f − fs·round(f/fs)| 这样的三角波，第一屏的折叠图正是这个三角波。

观察折叠(奈奎斯特)频率 = fs2

折叠频率是采样速率的一半。

选择表观频率等于真实频率的条件 f ?

f 低于 fs/2 时，看到的就是真实频率。

填空fs2 < f < fs → 表观频率 = | f − ?

介于 fs/2 和 fs 之间的 f 折叠为 |f − fs|。

自己来一般式 f_a = | f − fs · ? |

减去最接近 f 的 fs 整数倍，就得到假频率。

车轮、照片、声音中的折叠

只要有采样的地方，混叠都会以同样的面貌出现。电影摄影机每秒拍 24 帧(fs = 24)，所以车轮辐条经过同一位置的次数一旦超过每秒 12 次(fs/2)，运动就会被折叠，车轮看起来慢慢转动，甚至倒转。数码相机的传感器以像素间距对光采样，所以比这更细的条纹衣服或网格会折叠成粗大的波纹(摩尔纹)。以 fs 对音频采样时，fs/2 以上的声音会以错误的音高折叠进来，变成刺耳的噪声。三者都是在 fs/2 这同一面镜子上发生的同一种现象。

守在镜前的滤波器

一旦折叠进来的假频率会产生与真实信号完全相同的样本，所以采样之后再也没有办法把两者分开。因此必须在折叠之前加以阻止，为此要在采样前放一个低通滤波器，预先削掉 fs/2 以上的成分，这就是抗混叠滤波器。相当于在镜子前面先把会被映出的东西清走，让会折叠进来的频率根本不存在。电影里由快门打开期间把运动拖糊的运动模糊来做这件事，相机里由传感器前的光学低通滤波器来做，音频里由 ADC 前端的模拟滤波器来做。把采样速率提得足够高，或者提不高时先把 fs/2 以上丢掉，防止混叠的办法就是这两种。

回到第一屏

在第一屏中，采样速率固定为 fs = 8，只调高真实频率 f。f 低于折叠频率 4 时，表观频率与真实频率相同；一超过 4，就被镜子弹回，表观频率开始下降。一个更慢的假信号恰好经过快速真实信号的同一批样本，仅凭样本无法分辨两者。继续调高 f，表观频率也只是以三角波在 0 和 4 之间来回。车轮倒转、照片出现波纹、声音失去音高，都发生在这一面镜子上。真实频率是否超过 fs/2，决定了看到的是真相还是幻象。

混叠以采样速率 fs 的一半，即折叠频率 fs/2 为镜子而发生。高于 fs/2 的真实频率 f 在样本上折叠成一个较低的假频率，即表观频率 f_a = |f − fs·round(f/fs)|；调高 f 时，f_a 成为在 0 与 fs/2 之间来回的三角波。f < fs/2 则如实(看到的就是真实)，再往上就是幻象。车轮倒转、摩尔纹、音频音高失真，都是同一种折叠。折叠的假频率在采样之后无法复原，所以要在采样之前用抗混叠(低通)滤波器削掉 fs/2 以上的部分来防止。

进入下一单元

到目前为止，我们只把样本看作时间上的点。现在需要一种工具，把这些点组成的序列本身当作一个对象来处理。下一单元 z 变换 就是面向离散信号的拉普拉斯变换。它把延迟一拍归结为符号 z⁻¹，把离散信号和差分方程变成关于 z 的代数。正如在连续时间里 s 平面和极点决定响应，在离散时间里 z 平面和其上的极点起同样的作用，只是稳定的边界不再是虚轴，而是单位圆。这个差别，正是采样通过 z = e^sT 把 s 平面缠绕到 z 平面上的结果。