SC · 拉普拉斯

s 平面与极点·零点

s 平面上一个极点的位置，几乎决定了系统的全部行为。极点的实部说明响应衰减多快，虚部说明振荡多快。移动极点，看响应如何改变。

移动极点，响应改变

左侧是 s 平面，× 标出一对极点 s=σ±jω。绿色区域是稳定的左半面，中间竖线是虚轴。下方是该极点的自然响应 e^(σt)cos(ωt)。用两个滑杆把极点移到响应衰减到 0 的左半面。

s 平面 (× = 极点)

自然响应 e^(σt)cos(ωt)

实部 σ0.40

虚部 ω2.00

极点位置与响应

s = 0.40 + j2.00

极点在虚轴右侧，实部 σ 为正。自然响应 e^(σt)cos(ωt) 的幅度越来越大而发散。极点在右半面，是不稳定系统。

不稳定 (右半面)

极点是无穷，零点是零

传递函数写成分子与分母之比 H(s) = N(s)/D(s)。使分母 D(s) 为零的 s 处 H 冲向无穷，这些点称为极点，在平面上以 × 标记。使分子 N(s) 为零的 s 处 H 变为 0，这些点称为零点，以 ○ 标记。系统自然响应的形状几乎全由极点决定，零点为该形状添加权重。

观察pole p = σ + jω

极点是使分母为零的点。

选择response e^σt, σ < 0 → ?

实部 σ 是衰减率。

填空oscillation cos(?t)

虚部是振荡频率。

自己来stable ⟺ poles in ?

稳定即所有极点在左半面。

实部是衰减，虚部是振荡

极点 s = σ + jω 产生的自然响应形如 e^(σt)cos(ωt)。实部 σ 是指数 e^(σt) 的衰减率，σ 为负则衰减，越负越快。虚部 ω 是余弦的角频率，离实轴越远振荡越快。所以平面上极点的横向位置显示多快消失、纵向位置显示多快摆动。实极点(ω=0)是无振荡的单纯衰减。

左半面即稳定

系统的所有极点都在虚轴左侧、即实部为负的左半面，则所有自然响应模式衰减，系统 BIBO 稳定。只要有一个极点在右半面，该模式发散、系统不稳定；在虚轴上则不消失地振荡，临界稳定。这把 B4 中 a<0 的稳定条件，连同复极点一起，推广为 s 平面上的一个位置。稳定性由极点决定，零点改变不了稳定性。

回到第一屏

把极点拖到虚轴左侧，响应衰减到 0(稳定)；推到右侧，幅度增大而发散(不稳定)；放在虚轴上，以相同大小永远振荡(临界)。把极点从实轴上下移得越远，振荡越快。极点的横向位置(实部)是衰减率，纵向位置(虚部)是振荡频率。系统的全部行为，就写在 s 平面上一个点的位置里。

传递函数 H(s) = N(s)/D(s) 由极点(D(s)=0, H→∞, × 标记)与零点(N(s)=0, H=0, ○ 标记)刻画。极点 s = σ ± jω 产生的自然响应为 e^σtcos(ωt)：实部 σ 是衰减率(σ<0 衰减)，虚部 ω 是振荡频率。所有极点在左半面(Re<0)即稳定，右半面不稳定，虚轴上临界稳定(把 B4 的 a<0 推广到复极点)。零点为响应形状添加权重，但改变不了稳定性。

进入下一单元

若极点和零点描绘系统，那么把它们绑在一起的函数 H(s) 本身就是系统的完整身份证。下一单元传递函数把系统的微分方程作拉普拉斯变换，建立 H(s) = 输出/输入，再把 H(s) 乘以输入的变换来求输出。时域卷积变成 s 域乘法，正如 C4 所见。极点和零点不过是 H(s) 分母与分子因式分解后的位置。