SC · 拉普拉斯

s 平面与极点·零点

极点在 s 平面上的位置，几乎决定了系统的全部行为。极点的实部决定响应衰减得多快，虚部决定它摆动得多快，所以只看一个点就能大致判断响应的形状。本讲中你将亲手移动极点，确认响应如何随之变化。

移动极点，响应改变

上图是 s 平面，两个金色 × 是一对共轭极点 s = σ ± jω。涂成绿色的左侧是稳定的左半平面，涂成红色的右侧是右半平面，分开两者的竖线就是虚轴。下图画出这对极点产生的自然响应 e^(σt)cos(ωt)，时间从 t = 0 到 6。开始时 σ = 0.4，极点位于右半平面，响应一边摆动一边胀出图外。用两个滑杆把极点移到左半平面，就能看到响应逐渐衰减到 0。

s 平面 (× = 极点)

自然响应 e^(σt)cos(ωt)

实部 σ0.40

虚部 ω2.00

极点位置与响应

s = 0.40 + j2.00

极点在虚轴右侧，实部 σ 为正。自然响应 e^(σt)cos(ωt) 一边摆动，振幅一边沿着 e^(σt) 不断增大，最终跑出图外。只要有一个极点在右半平面，响应就会这样发散，因此系统不稳定。

不稳定 (右半面)

极点处为无穷大，零点处为 0

传递函数写成两个多项式之比 H(s) = N(s)/D(s)。在使分母 D(s) 为 0 的 s 处，H 冲向无穷大，这样的点称为极点，在平面上用 × 标出。在使分子 N(s) 为 0 的 s 处，H 变为 0，这样的点就是零点，用 ○ 标出。自然响应中包含哪些模态(形如 e^(σt)cos(ωt) 的分量)由极点决定，零点则改变每个模态在响应中所占的分量，也就是权重。上图只画了一对极点，没有画零点。

观察极点 p = σ + jω

极点是使分母为 0 的 s。

选择响应 e^σt, σ < 0 → ?

实部 σ 决定衰减率。

填空振荡 cos(?t)

虚部 ω 是振荡的角频率。

自己来稳定 ⟺ 所有极点在 ?

稳定要求所有极点都在左半平面。

实部是衰减，虚部是振荡

单个极点 s = σ + jω 产生的自然响应形如 e^(σt)cos(ωt)。实部 σ 是指数 e^(σt) 的衰减率：σ 为负时响应衰减，负得越多衰减越快。虚部 ω 是余弦的角频率，极点离实轴上下越远，振荡越快。因此在平面上读出极点的横向位置，就知道响应消失得多快；读出纵向位置，就知道它摆动得多快。把 ω 滑杆降到 0，两个 × 在实轴上重合，响应不再摆动，只是单纯地衰减或增长。

左半面即稳定

如果系统的所有极点都在虚轴左侧，即实部为负的左半平面，那么自然响应的所有模态都会衰减，系统 BIBO 稳定。只要有一个极点在右半平面，该模态就会发散，系统不稳定。位于虚轴上的极点会留下永不消失的振荡，属于临界稳定；但同频率的有界输入会与它共振，使输出无限增大，所以它不算 BIBO 稳定。这一判据把 B4 中 a < 0 的稳定条件推广到复极点，并归结为 s 平面上的一个位置。决定稳定性的是极点，零点只改变响应的形状，改变不了稳定性。

回到第一屏

在第一屏上，把极点拉到虚轴左侧，响应衰减到 0(稳定)；推到右侧，振幅胀大并跑出图外(不稳定)；放在虚轴上，响应以相同大小一直摆动(临界)。调大 ω、让极点离实轴上下越远，振荡也越快。极点的横向位置即实部是衰减率，纵向位置即虚部是振荡的角频率。系统将如何运动，早已写在 s 平面上一个点的位置里。

在传递函数 H(s) = N(s)/D(s) 中，极点是 D(s) = 0 的点(H→∞，用 × 表示)，零点是 N(s) = 0 的点(H = 0，用 ○ 表示)。极点 s = σ ± jω 产生的自然响应是 e^σtcos(ωt)，其中实部 σ 是衰减率(σ < 0 时衰减)，虚部 ω 是振荡的角频率。所有极点都在左半平面(Re < 0)则 BIBO 稳定，只要有一个在右半平面就不稳定，在虚轴上则为临界稳定(把 B4 的 a < 0 推广到复极点)。零点改变各模态的权重，但改变不了稳定性。

进入下一单元

如果极点和零点几乎决定了系统的全部性质，那么同时包含二者的函数 H(s) 就像是这个系统的身份证。下一单元 传递函数 中，我们对系统的微分方程做拉普拉斯变换，建立 H(s) = 输出/输入，再用输入的变换乘以 H(s) 求出输出。时域的卷积在 s 域变成乘法，正是 C4 中看到的性质。极点和零点不过是把这个 H(s) 的分母和分子因式分解后得到的根。