方框图与反馈

用反馈使不稳定变稳定

上图是一个负反馈回路。输入 X 进入相加点(+)，经过前向通路被控对象 H(s) = 1/(s − 1) 的输出 Y，再经增益为 k 的反馈通路回到相加点被减去(−)。这个被控对象的极点在右半平面的 +1，单独放着就会发散。下图是闭环冲激响应 e^((1 − k)t)，k 从 0.4 开始。增大增益 k，把闭环极点 s = 1 − k 推过虚轴到左侧，就能看到原本增长的响应衰减到 0。

连接方块的代数

方框图把系统画成写有传递函数的方框，并用箭头按信号流动的方向连接。两个系统串联时，第一个的输出就是第二个的输入，所以总传递函数是两者之积 H₁H₂。若把同一输入分给两个系统、再把输出相加，即并联，总传递函数就是和 H₁ + H₂。无论信号流多么复杂，只要依次运用这些相乘和相加的规则，就能逐步化简成一个传递函数。

反馈闭合回路

反馈是把输出送回去、从输入中减掉的结构。进入前向通路 H 的信号，是原输入 X 减去经反馈通路 G 后的输出 GY，所以 Y = H(X − GY)。整理得 Y(1 + HG) = HX，即闭环传递函数 T = Y/X = H/(1 + HG)。分母中的 1 + HG 就是反馈新产生的部分。在负反馈中，输出偏大时进入前向通路的信号减小，偏小时则增大，于是输出会自动调整去跟随目标。在第一屏的图中，反馈通路 G 是常数 k。

反馈移动极点

闭环极点是分母 1 + HG = 0 的根。这个方程与决定开环 H 极点的方程不同，所以加上反馈后极点会移到新的位置。对第一屏的不稳定被控对象 H = 1/(s − 1) 加上增益为 k 的负反馈，闭环成为 1/(s − 1 + k)，极点移到 s = 1 − k。因此只要让 k 大于 1，极点就越过到左半平面，系统变得稳定。像这样用增益决定极点位置是控制的核心，而追踪增益变化时极点走过的路径，就是后面要讲的根轨迹。

回到第一屏

被控对象 H = 1/(s − 1) 的极点在右半平面，单独时会发散。闭合反馈回路并增大增益 k 后，闭环极点 s = 1 − k 越过虚轴来到左半平面，原本增长的响应衰减到了 0。反馈不只是多接了一个方框，而是把分母变成 1 + HG，把极点移到了新的位置。用一个增益来配置极点、把不稳定变为稳定，这就是反馈控制的核心。

如果反馈能把极点放到想要的位置，那么要完成设计，就必须准确知道这些极点位置会产生什么样的响应。下一单元将研究标准形式的一阶系统和二阶系统的响应。一阶系统是由一个时间常数 τ 决定的单纯衰减，二阶系统则由阻尼比 ζ 和固有频率 ωn 决定暂态响应，因此超调量和调节时间等实际指标可以直接从极点位置读出。用反馈移动的极点会产生怎样的响应，在那里就清楚了。