SC · 拉普拉斯

方框图与反馈

把系统画成方块再连接，传递函数就以代数合并：串联相乘，并联相加，把输出反馈到输入的反馈则闭合回路。提高反馈增益，看它把不稳定对象的极点移到左半面而使之稳定。

用反馈使不稳定变稳定

上方是负反馈回路。前向通路的对象 H(s) = 1/(s−1) 极点在右半面(+1)，放任不管就发散。下方是闭环响应。提高反馈增益 k，把闭环极点 s = 1−k 推到虚轴左侧，让发散的响应衰减到 0。

负反馈回路

闭环响应

反馈增益 k0.40

闭环与极点

T(s) = 1 / (s − 0.60)   극 s = 0.60

反馈增益太弱，闭环极点 s = 1−k 仍在右半面。响应增大而发散。不稳定对象尚未被稳定。

不稳定

连接方块的代数

方框图把系统画成标注传递函数的方块，用箭头连接信号流。把两个系统串联，第一个的输出成为第二个的输入，所以整体传递函数是两者之积 H₁H₂。把同一输入分到两个系统再把输出相加的并联，则是和 H₁+H₂。再复杂的信号流，也能用这套乘与加的规则逐步化简为一个传递函数。

观察series: H₁ H₂

串联使传递函数相乘。

选择parallel: ?

并联使传递函数相加。

填空closed loop = H / (1 + H ?)

闭环是 H/(1+HG)。

自己来pole: 1 → ?

反馈把极点移到新位置。

反馈闭合回路

反馈是把输出送回并在输入处相减的结构。前向通路 H 的输入是原输入 X 减去经反馈通路 G 的输出，所以 Y = H(X − GY)。求解得 Y(1 + HG) = HX，即闭环传递函数 T = Y/X = H/(1 + HG)。分母的 1 + HG 是反馈造出的新式子。由于是负反馈，输出过高就减小输入、过低就增大，系统便自行跟随目标。

反馈移动极点

闭环极点是分母 1 + HG = 0 的根。这与生成开环 H 极点的式子不同，所以反馈把极点移到新位置。给刚看到的不稳定对象 H = 1/(s−1) 加增益 k 的负反馈，闭环就变为 1/(s − 1 + k)，极点移到 s = 1 − k。把 k 增大过 1，极点越到左半面，系统稳定。如此用增益配置极点正是控制的核心，而随增益变化追踪极点所画的路径，就是后面的根轨迹。

回到第一屏

对象 H = 1/(s−1) 极点在右半面，独自发散。闭合反馈回路并提高增益 k，闭环极点 s = 1−k 越过虚轴移到左半面，增长的响应衰减到 0。反馈不只是把方块连起来，而是把分母变成 1+HG、把极点移到新位置。如此用一个增益配置系统的极点、把不稳定变为稳定，正是反馈控制的核心。

方框图把系统连成传递函数方块。串联相乘 H₁H₂，并联相加 H₁+H₂。负反馈用前向通路 H 与反馈通路 G 闭合回路，得到闭环 T(s) = H/(1+HG)。闭环极点是 1+HG = 0 的根，与开环不同。所以反馈移动极点，使不稳定系统稳定并调节速度与增益。这是反馈控制的基础。

进入下一单元

若反馈能把极点放到想要的位置，那么要完成设计，就得精确知道这些极点位置产生的响应形状。下一单元一阶·二阶响应考察标准型系统的响应。一阶系统是由单一时间常数 τ 决定的单纯衰减；二阶系统的暂态由阻尼比 ζ 与固有频率 ωn 决定，于是超调、稳定时间等工程指标可直接从极点位置读出。反馈所移动的极点产生怎样的响应，在那里变得清晰。